《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

4. (10 分)李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售, 这种水果每箱 $ 10 \mathrm{~kg} $, 批发商规定: 整箱购买, 一箱起售, 每人一天购买不超过 10 箱; 当购买 1 箱时, 批发价为 8.2 元/千克, 每多购买 1 箱, 批发价每千克降低 0.2 元.根据李大爷的销售经验, 这种水果售价为 12 元/千克时, 每天可销售 1 箱; 售价每千克降低 0.5 元, 每天可多销售 1 箱.设这种水果的批发价为 $ y $ (元/千克), 购进数量为 $ x $ (箱), 且 $ 1 \leqslant x \leqslant 10 $.
(1)求这种水果的批发价 $ y $ (元/千克)关于购进数量 $ x $ (箱)的函数解析式.
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完, 请你计算, 李大爷每天应购进这种水果多少箱, 才能使每天所获利润最大? 最大利润是多少?

答案： 解：
(1)根据题意，得y=8.2-0.2(x-1)=-0.2x+8.4.
答：这种水果批发价y(元/千克)关于购进数量x(箱)的函数解析式为y=-0.2x+8.4.
(2)设李大爷每天所获利润是w元.
由题意，得w=[12-0.5(x-1)-(-0.2x+8.4)]×10x=-3x²+41x=-3(x-$\frac{41}{6}$)²+$\frac{1681}{12}$.
∵-3＜0，x为正整数，且|6-$\frac{41}{6}$|＞|7-$\frac{41}{6}$|，
∴当x=7时，w取最大值，最大值为-3×(7-$\frac{41}{6}$)²+$\frac{1681}{12}$=140(元).
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润是140元.

5. (12 分)某企业投入 60 万元(只计入第一年成本)生产某种产品, 按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算, 该产品网上每年的销售量 $ y $ (万件)与售价 $ x $ (元/件)之间满足函数 $ y= 24-x $, 第一年除 60 万元外其他成本为 8 元/件.
(1)求该产品第一年的利润 $ w $ (万元)关于售价 $ x $ (元/件)的函数解析式.
(2)该产品第一年利润为 4 万元, 第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后, 其他成本下降 2 元/件.
①求该产品第一年的售价;
②若第二年售价不高于第一年, 销售量不超过 13 万件, 则第二年利润最少是多少万元?

答案： 解：
(1)根据题意，得w=(x-8)(24-x)-60=-x²+32x-252.
(2)①
∵该产品第一年利润为4万元，
∴4=-x²+32x-252，解得x₁=x₂=16.
答：该产品第一年的售价是16元/件.
②
∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
∴$\left\{\begin{array}{l}x\leqslant 16,\\ 24-x\leqslant 13,\end{array}\right.$解得11≤x≤16.
设第二年利润是w'万元.
w'=(x-6)(24-x)-4=-x²+30x-148.
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=15，11≤x≤16，
∴当x=11时，w'有最小值，最小为(11-6)×(24-11)-4=61(万元).
答：第二年的利润最少是61万元.