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22. (12分)如图,已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $, $ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,其中 $ A ( - 2, 0 ) $, $ C ( 0, - 2 ) $。
(1)求二次函数的解析式；
(2)若 $ P $ 是二次函数图象上的一点,且点 $ P $ 在第二象限,线段 $ P C $ 交 $ x $ 轴于点 $ D $, $ \triangle P D B $ 的面积是 $ \triangle C D B $ 的面积的2倍,求点 $ P $ 的坐标。
(1)求二次函数的解析式；
(2)若 $ P $ 是二次函数图象上的一点,且点 $ P $ 在第二象限,线段 $ P C $ 交 $ x $ 轴于点 $ D $, $ \triangle P D B $ 的面积是 $ \triangle C D B $ 的面积的2倍,求点 $ P $ 的坐标。
答案：
解:
(1)将A(-2,0)，C(0,-2)代入y = x² + bx + c，得$\begin{cases} 4 - 2b + c = 0 \\ c = -2 \end{cases}$解得$\begin{cases} b = 1 \\ c = -2 \end{cases}$
∴二次函数的解析式为y = x² + x - 2.
(2)设P(m,n)(m＜0，n＞0).
∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴$\frac{S_{\triangle PDB}}{S_{\triangle CDB}} = \frac{\frac{1}{2}BD\cdot n}{\frac{1}{2}BD\cdot CO} = 2$，
∴$\frac{n}{CO} = 2$.又CO = 2，
∴n = 2CO = 4.
∴m² + m - 2 = 4，解得m₁ = -3，m₂ = 2(舍去).
∴点P的坐标为(-3,4).
(1)将A(-2,0)，C(0,-2)代入y = x² + bx + c，得$\begin{cases} 4 - 2b + c = 0 \\ c = -2 \end{cases}$解得$\begin{cases} b = 1 \\ c = -2 \end{cases}$
∴二次函数的解析式为y = x² + x - 2.
(2)设P(m,n)(m＜0，n＞0).
∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴$\frac{S_{\triangle PDB}}{S_{\triangle CDB}} = \frac{\frac{1}{2}BD\cdot n}{\frac{1}{2}BD\cdot CO} = 2$，
∴$\frac{n}{CO} = 2$.又CO = 2，
∴n = 2CO = 4.
∴m² + m - 2 = 4，解得m₁ = -3，m₂ = 2(舍去).
∴点P的坐标为(-3,4).
23. (14分)在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = a x ^ { 2 } - 2 k x + k ^ { 2 } + k $ 图象的对称轴为直线 $ x = k $,且 $ k \neq 0 $,顶点为 $ P $。
(1)求 $ a $ 的值；
(2)求顶点 $ P $ 的坐标；(用含 $ k $ 的式子表示)
(3)已知 $ A ( 0, 1 ) $, $ B ( 2, 1 ) $,若函数 $ y = a x ^ { 2 } - 2 k x + k ^ { 2 } + k $( $ k - 1 \leq x \leq k + 1 $)的图象与线段 $ AB $ 恰好有一个公共点,写出 $ k $ 的取值范围。
(1)求 $ a $ 的值；
(2)求顶点 $ P $ 的坐标；(用含 $ k $ 的式子表示)
(3)已知 $ A ( 0, 1 ) $, $ B ( 2, 1 ) $,若函数 $ y = a x ^ { 2 } - 2 k x + k ^ { 2 } + k $( $ k - 1 \leq x \leq k + 1 $)的图象与线段 $ AB $ 恰好有一个公共点,写出 $ k $ 的取值范围。
答案：
解:
(1)
∵二次函数y = ax² - 2kx + k² + k图象的对称轴为直线x = k，
∴-$\frac{-2k}{2a}$ = k，
∴a = 1.
(2)把a = 1代入y = ax² - 2kx + k² + k，得y = x² - 2kx + k² + k.当x = k时，y = k² - 2k² + k² + k = k，
∴顶点P的坐标为(k,k).
(3)
∵函数y = ax² - 2kx + k² + k = x² - 2kx + k² + k = (x - k)² + k，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x = k，顶点坐标为(k,k).
∵A(0,1)，B(2,1)，①当k＞1时，抛物线的顶点在直线AB的上方，抛物线与线段AB没有公共点，则函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象与线段AB没有公共点；②当k = 1时，顶点(1,1)在线段AB上，即函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象与线段AB恰好有一个公共点；③当k＜0时，则x = k + 1或x = k - 1时，y = 1 + k＜1，函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象在线段AB下方，没有公共点；④当0＜k＜1时，若函数图象过点A(0,1)，则k² + k = 1，解得k = $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$(负值已舍去).
∵0＜$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$＜1，
∴根据抛物线的对称性知，当$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ ≤ k＜1时，函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象与线段AB有两个公共点；当0＜k＜$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$时，函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象与线段AB恰好有一个公共点.综上所述，若函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象与线段AB恰好有一个公共点，则0＜k＜$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$或k = 1.
(1)
∵二次函数y = ax² - 2kx + k² + k图象的对称轴为直线x = k，
∴-$\frac{-2k}{2a}$ = k，
∴a = 1.
(2)把a = 1代入y = ax² - 2kx + k² + k，得y = x² - 2kx + k² + k.当x = k时，y = k² - 2k² + k² + k = k，
∴顶点P的坐标为(k,k).
(3)
∵函数y = ax² - 2kx + k² + k = x² - 2kx + k² + k = (x - k)² + k，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x = k，顶点坐标为(k,k).
∵A(0,1)，B(2,1)，①当k＞1时，抛物线的顶点在直线AB的上方，抛物线与线段AB没有公共点，则函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象与线段AB没有公共点；②当k = 1时，顶点(1,1)在线段AB上，即函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象与线段AB恰好有一个公共点；③当k＜0时，则x = k + 1或x = k - 1时，y = 1 + k＜1，函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象在线段AB下方，没有公共点；④当0＜k＜1时，若函数图象过点A(0,1)，则k² + k = 1，解得k = $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$(负值已舍去).
∵0＜$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$＜1，
∴根据抛物线的对称性知，当$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ ≤ k＜1时，函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象与线段AB有两个公共点；当0＜k＜$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$时，函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象与线段AB恰好有一个公共点.综上所述，若函数y = ax² - 2kx + k² + k(k - 1 ≤ x ≤ k + 1)的图象与线段AB恰好有一个公共点，则0＜k＜$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$或k = 1.
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