《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

14. (12 分)某农场计划建造一个矩形养殖场, 为充分利用现有资源, 该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为 $ 10 \mathrm{~m} $), 另外三面用栅栏围成, 中间再用栅栏把它分成面积为 $ 1: 2 $ 的两个矩形, 已知栅栏的总长度为 $ 24 \mathrm{~m} $, 设较小矩形的宽为 $ x \mathrm{~m} $ (如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为 $ 36 \mathrm{~m}^{2} $, 求此时 $ x $ 的值.
(2)当 $ x $ 为多少时, 矩形养殖场的总面积最大? 最大面积为多少?

答案： 解：
(1)根据题意，较大矩形的宽为2x m，长为$\frac{24-x-2x}{3}$=(8-x)m，
∴(x+2x)(8-x)=36，
解得x₁=2，x₂=6.
经检验，当x=6时，3x=18＞10，不符合题意，舍去，
∴x=2.
答：此时x的值为2.
(2)设矩形养殖场的总面积是y m².
∵墙的长度为10 m，
∴0＜x≤$\frac{10}{3}$.
根据题意，得y=(x+2x)(8-x)=-3x²+24x=-3(x-4)²+48.
∵-3＜0，0＜x≤$\frac{10}{3}$，
∴当x=$\frac{10}{3}$时，y取最大值，最大值为-3×($\frac{10}{3}$-4)²+48=$\frac{140}{3}$.
答：当x=$\frac{10}{3}$时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为$\frac{140}{3}$m².

15. (12 分)如图是一只菱形风筝的骨架示意图, 它由 4 条竹棒 $ AC, BD, EF, GH $ 组成, 其中 $ E, F, G, H $ 分别是菱形 $ ABCD $ 四边的中点, 现有一根长为 $ 80 \mathrm{~cm} $ 的竹棒, 正好锯成风筝的四条骨架, 设 $ A C= x \mathrm{~cm} $, 菱形 $ ABCD $ 的面积为 $ y \mathrm{~cm}^{2} $.
(1)写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式.
(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性, 要求 $ 25 \mathrm{~cm} \leqslant A C \leqslant \frac{4}{3} B D $, 那么当骨架 $ A C $ 的长为多少时, 这风筝即菱形 $ ABCD $ 的面积最大? 此时最大面积为多少?

答案： 解：
(1)
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD.
同理，GH=$\frac{1}{2}$BD.
∵EF+BD+GH+AC=80 cm，
∴BD=(40-$\frac{1}{2}$x)cm.
∵四边形ABCD是菱形，
∴y=$\frac{1}{2}$(40-$\frac{1}{2}$x)x=-$\frac{1}{4}$x²+20x.
(2)
∵AC≤$\frac{4}{3}$BD，
∴x≤$\frac{4}{3}$(40-$\frac{1}{2}$x).
∴x≤32.
∴25≤x≤32.
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+20x=-$\frac{1}{4}$(x-40)²+400.
∵-$\frac{1}{4}$＜0，25≤x≤32，
∴当x=32，即AC的长为32 cm时，风筝即菱形ABCD的面积最大，此时最大面积为384 cm².