《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

6. (12 分)某文具店最近有 A, B 两款纪念册比较畅销.该店购进 A 款纪念册 5 本和 B 款纪念册 4 本共需 156 元, 购进 A 款纪念册 3 本和 B 款纪念册 5 本共需 130 元.在销售中发现: A 款纪念册售价为 32 元/本时, 每天的销售量为 40 本, 每降低 1 元可多售出 2 本; B 款纪念册售价为 22 元/本时, 每天的销售量为 80 本, B 款纪念册每天的销售量 $ y $ (本)与售价 $ x $ (元/本)之间满足一次函数关系, 其部分对应数据如表所示:
|售价 $ x $/(元/本)|…|22|23|24|25|…|
|每天销售量 $ y $/本|…|80|78|76|74|…|

(1)求 A, B 两款纪念册每本的进价分别为多少元.
(2)该店准备降低每本 A 款纪念册的利润, 同时提高每本 B 款纪念册的利润, 且这两款纪念册每天销售总数不变, 设 A 款纪念册每本降价 $ m $ 元.
①直接写出 B 款纪念册每天的销售量; (用含 $ m $ 的代数式表示)
②当 A 款纪念册每本售价为多少元时, 该店每天所获利润最大? 最大利润是多少?

答案： 解：
(1)设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元.
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}5a+4b=156,\\ 3a+5b=130,\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=20,\\ b=14.\end{array}\right.$
答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元.
(2)①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本.
∵两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册每天的销售量为(80-2m)本.
②设B款纪念册每天的销售量y(本)与售价x(元/本)之间满足的一次函数关系是y=kx+b'.
根据表格，得$\left\{\begin{array}{l}80=22k+b',\\ 78=23k+b',\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2,\\ b'=124.\end{array}\right.$
∴y=-2x+124.
当y=80-2m时，x=22+m，
即当B款纪念册每天的销售量为(80-2m)本时，每本售价是(22+m)元.
设该店每天所获利润是w元.
由已知可得w=(32-m-20)(40+2m)+(22+m-14)(80-2m)=-4m²+48m+1120=-4(m-6)²+1264.
∵-4＜0，
∴当m=6时，w取最大值，最大值为1264，此时A款纪念册每本售价为32-6=26(元).
答：当A款纪念册每本售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元.

7. (4 分)如图所示是抛物线形的拱桥, 当水面离拱顶 2 m 时, 水面宽 4 m.若水面宽为 $ 2 \sqrt{6} \mathrm{~m} $, 则水面下降 ( )

[A] 1 m
[B] 2 m
[C] 3 m
[D] 10 m

答案： A