《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

22. (12 分)如图,正六边形 $ ABCDEF $ 内接于 $ \odot O $,$ BE $ 是 $ \odot O $ 的直径,连接 $ BF $,延长 $ BA $,过点 $ F $ 作 $ FG \perp BA $,垂足为 $ G $.
(1)求证：$ FG $ 是 $ \odot O $ 的切线；
(2)已知 $ FG = 2\sqrt{3} $,求图中阴影部分的面积.

答案：

(1)证明：如图，连接OF，OA.
∵AB=AF=EF，
∴⌢AB=⌢AF=⌢EF.
∴∠ABF=∠AFB=∠EBF=30°.
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠BFO=30°.
∴∠ABF=∠BFO.
∴AB//OF.
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG.
∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线.
(2)解：
∵⌢AB=⌢AF=⌢EF，
∴∠AOF=60°.
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形.
∴∠AFO=60°.
∴∠AFG=90°－60°=30°.
∵FG=2$\sqrt{3}$，易得AF=4.
∴AO=4.
∵AF//BE，
∴S△ABF=S△AOF.
∴图中阴影部分的面积为$\frac{60π×4²}{360}$=$\frac{8}{3}$π.

23. (14 分)如图,在圆的内接五边形 $ ABCDE $ 中,$ AD $ 和 $ BE $ 交于点 $ N $,$ AB $ 和 $ EC $ 的延长线交于点 $ M $,$ CD // BE $,$ BC // AD $,$ BM = BC = 1 $,$ D $ 是 $ \overset{\frown}{CE} $ 的中点.
(1)求证：$ BC = DE $；
(2)求证：$ AE $ 是圆的直径；
(3)求圆的面积.

答案：

(1)证明：
∵CD//BE，
∴∠DCE=∠CEB.
∴⌢DE=⌢BC.
∴BC=DE.
(2)证明：如图，连接AC.
∵BC//AD，
∴∠CAD=∠BCA.
∴⌢AB=⌢CD.
∴AB=CD.
∵D是⌢CE的中点，
∴⌢CD=⌢DE.
∴CD=DE.又
∵BC=DE，
∴AB=BC.又
∵BM=BC，
∴AB=BC=BM，即△ACB和△BCM都是等腰三角形.
∴在△ACM中，∠ACM=∠ACB+∠BCM=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
∴∠ACE=90°.
∴AE是圆的直径.
(3)解：由
(1)
(2)，得⌢AB=⌢DE=⌢BC=⌢CD.又
∵AE是圆的直径，
∴∠BEA=∠DAE=22.5°，∠BAN=45°.
∴NA=NE.
∴∠BNA=∠BAN=45°，∠ABN=90°.
∴AB=BN.
∵AB=BM=1，
∴BN=1.
∴AN=NE=$\sqrt{2}$.
∴BE=NE+BN=$\sqrt{2}$+1.在△ABE中，由勾股定理，得AE²=AB²+BE²=1²+($\sqrt{2}$+1)²=4+2$\sqrt{2}$.
∴S圆=π($\frac{AE}{2}$)²=$\frac{1}{4}$π·AE²=(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$)π.