《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

18. (8分)设二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + 1 $( $ a \neq 0 $,且 $ a $, $ b $ 是实数)。已知函数值 $ y $ 和自变量 $ x $ 的部分对应取值如表所示：
| $ x $ | …$ $ | $ - 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ m $ | $ 1 $ | $ n $ | $ 1 $ | $ p $ | …$ $ |

(1)若 $ m = 4 $。
① 求二次函数的解析式；
② 写出一个符合条件的 $ x $ 的取值范围,使得 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
(2)若在 $ m $, $ n $, $ p $ 这三个实数中,只有一个是正数,求 $ a $ 的取值范围。

答案： 解:
(1)①由题意，得$\begin{cases} a - b + 1 = 4 \\ 4a + 2b + 1 = 1 \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \end{cases}$
∴二次函数的解析式是y = x² - 2x + 1.②
∵y = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x = 1.
∴当x＜1时，y随x的增大而减小.
(2)
∵x = 0和x = 2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x = -$\frac{b}{2a}$ = 1.
∴(1,n)是顶点，(-1,m)和(3,p)关于对称轴对称.若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0.
∵-$\frac{b}{2a}$ = 1，
∴b = -2a.
∴二次函数为y = ax² - 2ax + 1.
∴m = a + 2a + 1 ≤ 0.
∴a ≤ -$\frac{1}{3}$.

19. (10分)已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 4 x + 3 a + 2 $( $ a $ 为常数)。
(1)请写出该二次函数的三条性质；
(2)在同一平面直角坐标系中,若该二次函数的图象在 $ x \leq 4 $ 的部分与一次函数 $ y = 2 x - 1 $ 的图象有两个交点,求 $ a $ 的取值范围。

答案： 解:
(1)
∵二次函数y = x² - 4x + 3a + 2 = (x - 2)² + 3a - 2，
∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x = 2，顶点坐标为(2,3a - 2)，有最小值3a - 2.(答案不唯一)
(2)令x² - 4x + 3a + 2 = 2x - 1.整理，得x² - 6x + 3a + 3 = 0.
∵二次函数的图象在x ≤ 4的部分与一次函数y = 2x - 1的图象有两个交点，
∴方程x² - 6x + 3a + 3 = 0在x ≤ 4的范围内有两个不同的实数根.
∴$\begin{cases} \Delta = (-6)² - 4×1×(3a + 3) ＞ 0 \\ \frac{6 \pm \sqrt{(-6)² - 4(3a + 3)}}{2} \leq 4 \end{cases}$解得$\frac{5}{3}$ ≤ a ＜ 2.
∴a的取值范围为$\frac{5}{3}$ ≤ a ＜ 2.