《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

15. (12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$M经过点A(-1, 0)$,且顶点坐标为$B(0, 1)$.
(1)求抛物线$M$的函数解析式.
(2)设$F(t, 0)为x$轴正半轴上一点,将抛物线$M绕点F旋转180°得到抛物线M_1$.
①若$t = 1$,直接写出抛物线$M_1$的函数解析式(顶点式即可)；
②$t取符合条件的值时抛物线M_1的顶点B_1$的坐标可表示为______,当抛物线$M_1与线段AB$有公共点时,结合函数的图象,求$t$的取值范围.

答案：
解：（1）由抛物线$M$的顶点坐标为$B(0,1)$，设抛物线的函数解析式为$y=ax^{2}+1$.将$A(-1,0)$代入，得$a×(-1)^{2}+1=0$，解得$a=-1$.$\therefore$抛物线$M$的函数解析式为$y=-x^{2}+1$.
（2）①由旋转的性质，得$B_{1}(x,y)$与$B(0,1)$关于点$F(t,0)$对称，$\therefore \frac{x+0}{2}=t$，$\frac{y+1}{2}=0$，解得$x=2t$，$y=-1$.$\therefore$当$t=1$时，点$B_{1}$的坐标为$(2,-1)$.$\therefore y=(x-2)^{2}-1$.②由①知抛物线$M_{1}$的顶点$B_{1}$的坐标可以表示为$(2t,-1)$.故答案为$(2t,-1)$.$\because$二次项系数为1，$\therefore$抛物线$M_{1}$的函数解析式为$y=(x-2t)^{2}-1(t＞0)$.如图，当抛物线$M_{1}$经过点$A(-1,0)$时，$(-1-2t)^{2}-1=0$，解得$t_{1}=-1$(舍去)，$t_{2}=0$.如图，当抛物线$M_{1}$经过点$B(0,1)$时，$(0-2t)^{2}-1=1$，解得$t_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$t_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去).结合图象可得$0＜t\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}$.

16. (4分)如图,已知抛物线$y = ax^2 + c与直线y = kx + m交于A(-3, y_1)$,$B(1, y_2)$两点,则关于$x的不等式ax^2 + c \geq -kx + m$的解集是( )

[A] $x \leq -3或x \geq 1$
[B] $x \leq -1或x \geq 3$
[C] $-3 \leq x \leq 1$
[D] $-1 \leq x \leq 3$

答案： D

17. (4分)如图,抛物线$y = -x^2 - 6x - 5交x轴于A$,$B$两点,交$y轴于点C$,$D(m, m + 1)$是抛物线上的点,则点$D关于直线AC$的对称点的坐标为______.

答案： (-5,-4)或(0,1)