《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

18. (14分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = x的图象与二次函数y = -x^2 + bx$($b$为常数)的图象相交于$O$,$A$两点,点$A的坐标为(3, m)$.
(1)求$m$的值以及二次函数的解析式；
(2)根据图象,直接写出不等式$-x^2 + bx ＜ x$的解集；
(3)若$P$为抛物线的顶点,连接$OP$,$AP$,求$\triangle POA$的面积.

答案：
解：（1）$\because$点$A(3,m)$在一次函数$y=x$的图象上，$\therefore m=3$.将点$A(3,3)$代入$y=-x^{2}+bx$，得$3=-3^{2}+3b$，解得$b=4$.故二次函数的解析式为$y=-x^{2}+4x$.
（2）由图象可知，一次函数与二次函数相交于$O(0,0)$，$A(3,3)$两点，观察图象可以看出当$x＜0$或$x＞3$时，$y=-x^{2}+bx$的图象在$y=x$图象的下方，$\therefore$不等式$-x^{2}+bx＜x$的解集为$x＜0$或$x＞3$.
（3）如图，过点$P$向$x$轴作垂线，交$OA$于点$Q$.

$\because y=-x^{2}+4x=-(x-2)^{2}+4$，点$P$为抛物线的顶点，$\therefore$点$P$的坐标为$(2,4)$.将$x=2$代入$y=x$，得$y=2$，即点$Q$的坐标为$(2,2)$，$\therefore PQ=2$.$\because A(3,3)$，$\therefore S_{\triangle POA}=S_{\triangle POQ}+S_{\triangle PAQ}=\frac{1}{2}×2×3=3$.

19. (4分)已知抛物线$y = ax^2 + bx + c与x轴交于点A(-2, 0)$,$B(4, 0)$,若以$AB为直径的圆与在x$轴下方的抛物线有交点,则$a$的取值范围是( )
[A] $a \geq \frac{1}{3}$
[B] $a ＞ \frac{1}{3}$
[C] $0 ＜ a ＜ \frac{1}{3}$
[D] $0 ＜ a \leq \frac{1}{3}$

答案： A

20. (4分)已知函数$y = ax^2 - (a + 1)x + 1$,有下列说法：
①若该函数图象与$x$轴只有一个交点,则$a = 1$；
②方程$ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$至少有一个整数根；
③若$\frac{1}{a} ＜ x ＜ 1$,则$y = ax^2 - (a + 1)x + 1$的函数值都是负数；
④不存在实数$a$,使得$ax^2 - (a + 1)x + 1 \leq 0对任意实数x$都成立.
其中,不正确的有( )
[A] 0个
[B] 1个
[C] 2个
[D] 3个

答案： C