《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

20. (10 分)如图,在等腰三角形 $ ABC $ 中,$ AB = BC $,以 $ AB $ 为直径的 $ \odot O $ 分别与 $ AC $ 和 $ BC $ 相交于点 $ D $ 和点 $ E $,连接 $ OD $,$ DE $.求证：
(1)$ OD // BC $；
(2)$ AD = DE $.

答案：

(1)
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA.
∵AB=BC，
∴∠A=∠C.
∴∠ODA=∠C.
∴OD//BC.
(2)如图，连接OE.由题意，得OB=OE，
∴∠B=∠OEB.由
(1)知OD//BC，
∴∠AOD=∠B，∠OEB=∠EOD.
∴∠AOD=∠EOD.
∴AD=DE.

21. (12 分)如图,$ AB $ 为半圆 $ O $ 的直径,点 $ F $ 在半圆上,点 $ P $ 在 $ AB $ 的延长线上,$ PC $ 与半圆相切于点 $ C $,与 $ OF $ 的延长线相交于点 $ D $,$ AC $ 与 $ OF $ 相交于点 $ E $,$ DC = DE $.
(1)求证：$ OD \perp AB $；
(2)若半圆 $ O $ 的半径为 $ 8 $,且 $ OA = 2OE $,求 $ DF $ 的长.

答案：

(1)证明：如图，连接OC.
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA.
∵DC=DE，
∴∠DEC=∠DCE.
∴∠OEA=∠DEC=∠DCE.
∵PC与半圆O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，
∴PC⊥OC.
∴∠BOD=∠OEA+∠OAC=∠DCE+∠OCA=∠OCD=90°.
∴OD⊥AB.
(2)解：
∵半圆O的半径为8，
∴OA=OF=OC=8.
∵OA=2OE=8，
∴OE=4.
∴FE=OF－OE=8－4=4.
∴DC=DE=DF+4.
∵OC²+DC²=OD²，且OD=DF+8，
∴8²+(DF+4)²=(DF+8)²，解得DF=2.
∴DF的长是2.