《2025年顶尖课课练八年级数学上册人教版》

11. 已知$x^{2}-4y^{2}= 20$,$x + 2y = 5$,求$x$,$y$的值。

答案： $x=4.5$，$y=0.25$

12. 已知$n$为正整数,求证：$(4n + 3)^{2}-(2n + 3)^{2}能被24$整除。

答案： 证明：
$\begin{aligned}(4n + 3)^{2} - (2n + 3)^{2}&=[(4n + 3)+(2n + 3)][(4n + 3)-(2n + 3)]\\&=(6n + 6)(2n)\\&=6(n + 1)\cdot 2n\\&=12n(n + 1)\end{aligned}$
因为 $n$ 为正整数，所以 $n$ 与 $n + 1$ 是两个连续正整数，必有一个是偶数，即 $n(n + 1)$ 能被 2 整除。
因此 $12n(n + 1)=12×2k=24k$（$k$ 为整数），
所以 $(4n + 3)^{2}-(2n + 3)^{2}$ 能被 24 整除。
结论：$(4n + 3)^{2}-(2n + 3)^{2}$ 能被 24 整除。

13. (数学活动)“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要研究课题。七年级的时候对于数的大小比较,我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的大”,进而得出“正数大于$0$,$0$大于一切负数”。本学期我们研究了代数式大小比较,通常可以考虑将两个代数式作差和$0比较或者作商和1$比较。有时还通过灵活运用整式的乘除对一些特殊的数与式进行了大小比较。例如,比较$2^{22}和3^{11}$的大小,我们是这么做的：“$\because 2^{22}= (2^{2})^{11}= 4^{11}$,$\because 4＞3$,$\therefore 4^{11}＞3^{11}$。$\therefore 2^{22}＞3^{11}$。”问题得以解决。请同学们完成下列问题：
(1)试比较$2^{8}和8^{2}$的大小；
(2)若$a^{3}= 2$,$b^{5}= 3$,试比较$a$,$b$的大小；
(3)若$a＞0$,$b＞0且a\neq b$,试比较$a^{3}+b^{3}与a^{2}b + ab^{2}$的大小。

答案： （1）$2^8＞8^2$（2）$a＞b$ （3）$a^3+b^3＞a^2b+ab^2$