《2025年顶尖课课练八年级数学上册人教版》

10. 如图 14.2.5 - 8,已知 $AB = AD$,$BC = DE$,且 $BA \perp AC$,$DA \perp AE$,求证：$AM = AN$。

答案： 证明：
1.
∵BA⊥AC，DA⊥AE（已知），
∴∠BAC=∠DAE=90°（垂直的定义）。
2. 在Rt△ABC和Rt△ADE中，
∵AB=AD，BC=DE（已知），
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）。
3.
∴AC=AE，∠C=∠E（全等三角形对应边相等、对应角相等）。
4. 在△ACM和△AEN中，
∵∠C=∠E，AC=AE，∠CAM=∠EAN（公共角），
∴△ACM≌△AEN（ASA）。
5.
∴AM=AN（全等三角形对应边相等）。

11. 如图 14.2.5 - 9,$AB = AE$,$\angle B = \angle E$,$BC = ED$,点 $F$ 是 $CD$ 的中点,求证：$AF \perp CD$。

答案： 证明：连接AC，AD。
在△ABC和△AED中，
$\begin{cases}AB = AE \\\angle B = \angle E \\BC = ED\end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SAS)。
∴AC = AD。
∵点F是CD的中点，
∴CF = DF。
在△ACF和△ADF中，
$\begin{cases}AC = AD \\CF = DF \\AF = AF\end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SSS)。
∴∠AFC = ∠AFD。
∵∠AFC + ∠AFD = 180°，
∴∠AFC = ∠AFD = 90°。
∴AF⊥CD。

12. 如图 14.2.5 - 10,$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$,线段 $AD$,$A'D'$ 分别是 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 的高,求证：$AD = A'D'$。

答案： 证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'。
∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°。
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'，
∠B=∠B'，
AB=A'B'，
∴△ABD≌△A'B'D'（AAS）。
∴AD=A'D'。