《2025年顶尖课课练八年级数学上册人教版》

5. 如图 14.2.5 - 3,已知 $\angle ABC = \angle DEF$,$AB = DE$,现要说明 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$。

(1)若以“SAS”为依据,还需添加的一个条件为 BC=EF；
(2)若以“ASA”为依据,还需添加的一个条件为 ∠A=∠D；
(3)若以“AAS”为依据,还需添加的一个条件为 ∠ACB=∠F。

答案： （1）BC=EF （2）∠A=∠D （3）∠ACB=∠F

6. 如图 14.2.5 - 4,已知 $AC = BC$,$AD = BD$,下列结论中不正确的是(A)。

A.$CO = DO$
B.$AO = BO$
C.$AB \perp CD$
D.$\triangle ACO \cong \triangle BCO$

答案： A

7. (数学活动)为测量一池塘两端 $A$,$B$ 间的距离。甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案。

甲：如图 14.2.5 - 5①,先过点 $B$ 作 $AB$ 的垂线 $BF$,再在射线 $BF$ 上取 $C$,$D$ 两点,使 $BC = CD$,接着过点 $D$ 作 $BD$ 的垂线 $DE$,交 $AC$ 的延长线于点 $E$,则测出 $DE$ 的长即为 $A$,$B$ 间的距离；
乙：如图 14.2.5 - 5②,先确定直线 $AB$,过点 $B$ 作射线 $BE$,在射线 $BE$ 上找可直接到达点 $A$ 的点 $D$,连接 $DA$,作 $DC = DA$,交直线 $AB$ 于点 $C$,则测出 $BC$ 的长即为 $AB$ 间的距离。下列判断正确的是(A)。
A.只有甲同学的方案可行
B.只有乙同学的方案可行
C.甲、乙同学的方案均可行
D.甲、乙同学的方案均不可行

答案： A

8. 如图 14.2.5 - 6,已知 $AB = AD$,$BC = DC$,$AC$,$BD$ 相交于点 $E$,由这些条件写出四个你认为正确的结论。(不再添加辅助线,不再标注其他字母)

答案： 答案不唯一，如△AED≌△AEB，△CDE≌△CBE，△ADC≌△ABC，DE=BE，∠DAE=∠BAE等

9. 如图 14.2.5 - 7,在 $\triangle ABC$ 中,以点 $A$ 为圆心,$AB$ 长为半径画弧交 $AC$ 于点 $D$,分别以点 $B$,$D$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}BD$ 的长为半径画弧,两弧交于点 $E$,作射线 $AE$,交 $BC$ 于点 $F$,连接 $DF$。
(1)求证：$\triangle ABF \cong \triangle ADF$；
(2)若 $\angle B = 110^{\circ}$,$\angle C = 40^{\circ}$,求 $\angle DFC$ 的度数。

答案： （1）证明：由作图可知，$AB = AD$，$AE$是$BD$的垂直平分线，
$\therefore BF = DF$，
在$\triangle ABF$和$\triangle ADF$中，
$\begin{cases}AB = AD \\AF = AF \\BF = DF\end{cases}$
$\therefore \triangle ABF \cong \triangle ADF(SSS)$；
（2）在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B - \angle C = 180^{\circ}-110^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$，
由（1）知$\triangle ABF \cong \triangle ADF$，
$\therefore \angle BAF = \angle DAF$，$\angle ADF = \angle B = 110^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF=\frac{1}{2}\angle BAC = 15^{\circ}$，
在$\triangle ADF$中，$\angle AFD = 180^{\circ}-\angle DAF - \angle ADF = 180^{\circ}-15^{\circ}-110^{\circ}=55^{\circ}$，
$\because \angle AFD + \angle DFC = 180^{\circ}-\angle C$（三角形外角性质），
$\therefore \angle DFC = 180^{\circ}-\angle C - \angle AFD = 180^{\circ}-40^{\circ}-55^{\circ}=85^{\circ}$，
又$\because \angle ADF + \angle FDC = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle FDC = 180^{\circ}-\angle ADF = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$，
在$\triangle DFC$中，$\angle DFC = 180^{\circ}-\angle FDC - \angle C = 180^{\circ}-70^{\circ}-40^{\circ}=70^{\circ}$。
答案：（1）见上述证明；（2）$70^{\circ}$