《2025年顶尖课课练八年级数学上册人教版》

一作图确定位置
1. 如图 Z2 - 1,点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点,如何在 l 上找一个点 C,使得点 C 到点 A,B 的距离之和最小？

2. 如图 Z2 - 2,从 A 地到 B 地经过一条小河(河岸平行),欲在河上建一座与两岸垂直的桥,应如何选择桥的位置才能使从 A 地到 B 地的路程最短？

3. 如图 Z2 - 3,小河边有两个村庄 A,B,要在河边 EF 建一个自来水厂向 A 村与 B 村供水.
(1)若要使厂部到 A,B 村的距离相等,则应选择在哪里建厂？请画图说明.
(2)若要使厂部到 A,B 两村的水管最短,应建在什么地方？请画图说明.

4. 如图 Z2 - 4,已知∠ABC 及点 M,N,求作点 P,使得 PM = PN,且点 P 到∠ABC 的两边的距离相等.

答案： 1. 连接AB，AB与直线l的交点即为点C。
2. 过点A作河岸的垂线，在垂线上截取AA'等于河宽，连接A'B，与靠近B地的河岸交于点C，过点C作河岸的垂线交另一河岸于点D，CD即为桥的位置。
3.
(1)作线段AB的垂直平分线，与EF的交点即为建厂位置。
(2)作点A关于EF的对称点A'，连接A'B，与EF的交点即为建厂位置。
4. 作∠ABC的角平分线和线段MN的垂直平分线，两条线的交点即为点P。

二求作等腰三角形
5. 已知等腰三角形,请分别画图解答下列各题：
(1)若一腰的垂直平分线与另一腰的夹角是 50°,则作图①,得顶角的度数为40°；
(2)若一腰的垂直平分线与另一腰的延长线的夹角为 50°,则作图②,得顶角的度数为140°；
(3)若一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为 50°,则作图③,得顶角的度数为40°或140°.
悟：交点位置与等腰三角形的形状有关,应注意运用分类讨论思想.

答案： 5.（1）40° （2）140° （3），40°或140°

6. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°,则这个等腰三角形的顶角的度数为____.

答案： 50°或130°

7. 如图 Z2 - 5,在△ABC 中,AB = AC,∠A = 36°,请设计一种分法,将△ABC 分割成三个等腰三角形,并标出每个等腰三角形的内角度数.

答案： 1. 首先求$\angle B$和$\angle C$的度数：
因为$AB = AC$，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，且$\angle B=\angle C$，已知$\angle A = 36^{\circ}$，则$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}$。
把$\angle A = 36^{\circ}$代入$\angle B=\angle C=\frac{180 - 36}{2}$，可得$\angle B=\angle C = 72^{\circ}$。
2. 然后进行分割：
作$\angle B$的平分线$BD$交$AC$于$D$，再作$DE// AB$交$BC$于$E$。
对于$\triangle ABD$：
因为$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B$，$\angle B = 72^{\circ}$，所以$\angle ABD = 36^{\circ}$，则$\angle ADB=180^{\circ}-\angle A-\angle ABD=180 - 36-36 = 108^{\circ}$，所以$\triangle ABD$是等腰三角形（$\angle A=\angle ABD = 36^{\circ}$，$AD = BD$）。
对于$\triangle BDE$：
因为$DE// AB$，所以$\angle EDB=\angle ABD = 36^{\circ}$，$\angle BED = 180^{\circ}-\angle EDB-\angle EBD$，$\angle EBD=\frac{1}{2}\angle B = 36^{\circ}$，则$\angle BED = 108^{\circ}$，$\angle BDE=\angle DBE = 36^{\circ}$，所以$\triangle BDE$是等腰三角形（$BE = DE$）。
对于$\triangle DEC$：
因为$DE// AB$，$AB = AC$，所以$\angle DEC=\angle B = 72^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$，则$\angle EDC=180^{\circ}-\angle DEC-\angle C=180 - 72-72 = 36^{\circ}$，所以$\triangle DEC$是等腰三角形（$\angle DEC=\angle C = 72^{\circ}$，$DE = DC$）。
或者：
作$\angle B$的平分线$BD$交$AC$于$D$，再作$\angle BDC$的平分线$DE$交$BC$于$E$。
对于$\triangle ABD$：
因为$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B$，$\angle B = 72^{\circ}$，所以$\angle ABD = 36^{\circ}$，$\angle ADB = 108^{\circ}$，$\triangle ABD$是等腰三角形（$\angle A=\angle ABD = 36^{\circ}$，$AD = BD$）。
对于$\triangle BDE$：
因为$\angle BDC = 180^{\circ}-\angle ADB=72^{\circ}$，$\angle BDE=\frac{1}{2}\angle BDC = 36^{\circ}$，$\angle DBE = 36^{\circ}$，所以$\angle BED = 108^{\circ}$，$\triangle BDE$是等腰三角形（$\angle BDE=\angle DBE = 36^{\circ}$，$BE = DE$）。
对于$\triangle DEC$：
因为$\angle EDC=\frac{1}{2}\angle BDC = 36^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$，所以$\angle DEC = 72^{\circ}$，$\triangle DEC$是等腰三角形（$\angle DEC=\angle C = 72^{\circ}$，$DE = DC$）。
具体角度标注：
等腰$\triangle ABD$：$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABD = 36^{\circ}$，$\angle ADB = 108^{\circ}$；
等腰$\triangle BDE$：$\angle BDE = 36^{\circ}$，$\angle DBE = 36^{\circ}$，$\angle BED = 108^{\circ}$；
等腰$\triangle DEC$：$\angle DEC = 72^{\circ}$，$\angle EDC = 36^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$。（分法不唯一）