《2025年顶尖课课练八年级数学上册人教版》

1. 若某三角形的三边长分别为 3,4,$ m $,则 $ m $ 的值可以是(B).
A.1
B.5
C.7
D.9

答案： B

2. 如果小杨家和小李家到学校的直线距离分别是 5 km 和 3 km,那么小杨、小李两家的直线距离不可能是(A).
A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km

答案： A

3. 已知点 $ A $,$ B $,$ C $ 在同一平面内,若 $ AB = 5 $,$ BC = 3 $,则 $ AC $ 的长为(D).
A.$ AC = 8 $
B.$ AC = 2 $
C.$ 2 \lt AC \lt 8 $
D.$ 2 \leq AC \leq 8 $

答案： D

4. 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长分别为 $ m - 2 $,$ 2m + 1 $,8.
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ \triangle ABC $ 的三边长均为整数,求 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案： （1）3＜m＜5 （2）19

5. 若等腰三角形的一边长为 8 cm,周长为 18 cm,则腰长为(A).
A.8 cm 或 5 cm
B.10 cm 或 5 cm
C.8 cm 或 2 cm
D.5 cm

答案： A

6. 用总长为 20 m 的木条围一个等腰三角形的花圃.
(1)若腰长是底边长的 2 倍,求各边的长；
(2)能围成一个边长为 4 m 的等腰三角形吗？为什么？
悟：已知等腰三角形的两边求周长或已知一边与周长求其他边时,需要分类讨论,看哪条边是腰,同时三边长还必须能构成三角形.

答案： （1）4 m，8 m，8 m （2）能，理由略

灵机一动 1. 试说明：等边三角形 $ ABC $ 内任意一点 $ P $ 到三边的距离之和为定值.

答案： 设等边三角形$ABC$的边长为$a$，高为$h$，点$P$到$BC$、$AC$、$AB$的距离分别为$PD$、$PE$、$PF$（$D$、$E$、$F$为垂足）。
连接$PA$、$PB$、$PC$，则$\triangle ABC$被分为$\triangle PBC$、$\triangle PAC$、$\triangle PAB$。
$\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2} × BC × h=\frac{1}{2}ah$。
$\triangle PBC$的面积$S_1=\frac{1}{2} × BC × PD=\frac{1}{2}a \cdot PD$；
$\triangle PAC$的面积$S_2=\frac{1}{2} × AC × PE=\frac{1}{2}a \cdot PE$；
$\triangle PAB$的面积$S_3=\frac{1}{2} × AB × PF=\frac{1}{2}a \cdot PF$。
因为$S=S_1+S_2+S_3$，所以$\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a \cdot PD+\frac{1}{2}a \cdot PE+\frac{1}{2}a \cdot PF$。
两边同乘$\frac{2}{a}$，得$h=PD+PE+PF$。
由于等边三角形的高$h$为定值，故$PD+PE+PF$为定值（等于等边三角形的高）。
结论：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。