《2025年顶尖课课练八年级数学上册人教版》

9. 如图14.2.4 - 8,在△ABC中,∠C = 90°,点D是斜边AB的中点,AB = 2BC,DE⊥AB交AC于点E,求证：BE平分∠ABC。

答案： 证明：
∵点D是斜边AB的中点，
∴AD=DB=1/2AB。
∵AB=2BC，
∴BC=1/2AB，
∴DB=BC。
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠EDB=∠C=90°。
在Rt△ECB和Rt△EDB中，
{BC=DB，
BE=BE（公共边），}
∴Rt△ECB≌Rt△EDB（HL）。
∴∠EBC=∠EBD，
即BE平分∠ABC。

10. 如图14.2.4 - 9,点C在线段BD上,且AB⊥BD,ED⊥BD,若AB = CD,AC = CE,判断AC和CE的位置关系,并说明理由。

答案： AC⊥CE，理由如下：
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠CDE=90°。
在Rt△ABC和Rt△CDE中，
∵AB=CD，AC=CE，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL）。
∴∠ACB=∠CED。
∵∠CDE=90°，
∴∠CED+∠ECD=90°。
∴∠ACB+∠ECD=90°。
∵点C在线段BD上，
∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°。
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠ECD）=180°-90°=90°。
∴AC⊥CE。

11. 如图14.2.4 - 10,已知AB//CD,∠ABD = 90°,∠AED = 90°,BD = ED,求证：∠AFC = 2∠ADC。

答案： 已知：AB//CD，∠ABD=90°，∠AED=90°，BD=ED。
求证：∠AFC=2∠ADC。
证明：
1.
∵∠ABD=90°，∠AED=90°，
∴△ABD和△AED是直角三角形。
2. 在Rt△ABD和Rt△AED中，AD=AD（公共斜边），BD=ED（已知），
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）。
3.
∴∠BAD=∠EAD（全等三角形对应角相等）。
4.
∵AB//CD，
∴∠BAD=∠ADC（两直线平行，内错角相等）。
5. 由3、4得∠EAD=∠ADC（等量代换）。
6. 设AE与CD交于点F，在△AFD中，∠AFC是外角，
∴∠AFC=∠FAD+∠ADF（三角形外角等于不相邻两内角之和）。
7.
∵∠FAD=∠EAD，∠ADF=∠ADC，
∴∠AFC=∠ADC+∠ADC=2∠ADC。
即∠AFC=2∠ADC。

12. 画一个直角三角形ABC,使得AB = 4cm,CB = 5cm,∠A为直角。

答案： 答题卡：
作答：
根据题意，画直角三角形$ABC$，步骤如下：
画直角$\angle A$。
在射线$AX$（$A$为顶点）上取线段$AB = 4cm$。
过点$B$作$AX$的垂线$BY$（即与$AX$垂直的线）。
在垂线$BY$上取点$C$，使得$BC = 5cm$，（由于$CB$是斜边且长度大于直角边$AB$，因此点$C$在$B$的某一侧且距离$B$为$5cm$）。
连接$AC$。
则$\triangle ABC$为所求作的直角三角形，其中$\angle A$为直角，$AB = 4cm$，$CB = 5cm$。