《2025年顶尖课课练八年级数学上册人教版》

9. 先阅读材料再解决问题。
小明遇到下面一个问题：
计算$$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)$$。
经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而可以运用平方差公式解决问题,具体解法如下：
$\begin{aligned}&(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)\\=&(2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)\\=&(2^{2} - 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)\\=&(2^{4} - 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)\\=&(2^{8} - 1)(2^{8} + 1)\\=&2^{16} - 1\end{aligned} $
请你根据小明解决问题的方法,试着解决以下的问题：
(1) $$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)$$；
(2) $$(3 + 1)(3^{2} + 1)(3^{4} + 1)(3^{8} + 1)(3^{16} + 1)$$。

答案： （1）$2^{32}-1$（2）$\dfrac{3^{32}-1}{2}$

10. 街心花园有一块边长为$a$m的正方形草坪,经统一规划后,南北向要加长$2$m,而东西向要缩短$2$m,则改造后的长方形草坪的面积为$(a^2-4)m^2$。

答案： $(a^2-4)m^2$

11. 观察前后两个差为4的整数的平方差：
$5^{2} - 1^{2} = 8×3；$$6^{2} - 2^{2} = 8×4；$$7^{2} - 3^{2} = 8×5；$…。(1) 写出第n个等式,并进行证明；(2) 2024是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能,请写出这两个整数；如果不能,请说明理由。

答案： （1）$(n+4)^2-n^2=8×(n+2)$，证明略（2）能，这两个整数是255和251

12. (数学活动)观察下列各式：
① $$60×60 = 60^{2} - 0^{2} = 3600$$；
② $$59×61 = (60 - 1)×(60 + 1) = 60^{2} - 1^{2} = 3599$$；
③ $$58×62 = (60 - 2)×(60 + 2) = 60^{2} - 2^{2} = 3596$$；
④ $$57×63 = (60 - 3)×(60 + 3) = 60^{2} - 3^{2} = 3591$$；
……
【探究】(1) 上面的式子表示的规律是$$(60 + m)(60 - m) = $$$60^2-m^2$；观察各等式的左边发现两个因数之和都是$120$,而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化。当两个因数相等时,乘积最大。
【应用】(2) 根据上面的规律思考,若$a + b = 400$,则$ab$的最大值是40000；
【拓展】(3) 将一根长$40$cm的铁丝折成一个长方形,设它的一边长为$x$cm,面积为$S$cm^2,写出$S与x$之间的等量关系。当$x$为何值时,$S$取得最大值？
$S=x(20-x)$，当$x=10$时，$S$取得最大值

答案： （1）$60^2-m^2$ 相等（2）40 000（3）$S=x(20-x)$，当$x=10$时，$S$取得最大值