《2025年顶尖课课练八年级数学上册人教版》

3. 如图 15.1.2 - 3,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = 14 $,$ DE $ 是 $ AB $ 的垂直平分线,$ BE = 6 $,$ \triangle CBD $ 的周长为 24,求 $ BC $ 的长和 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案： BC=10，△ABC 的周长为 36

4. 尺规作图(不写作法,保留作图痕迹)：
(1) 如图 15.1.2 - 4①,作线段 $ AB $ 的垂直平分线 $ MN $；
(2) 如图 15.1.2 - 4②,已知图中两个三角形关于直线 $ l $ 成轴对称,请画出对称轴 $ l $.

答案：
(1) 作图：
使用圆规以$A$、$B$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的相同长度为半径画弧，两弧相交于两点$M$、$N$，连接$M$、$N$，则$MN$为线段$AB$的垂直平分线。
(2) 作图：
连接$A$和$A^\prime$，$B$和$B^\prime$，$C$和$C^\prime$，作这三条线段的垂直平分线，这三条垂直平分线重合的直线即为对称轴$l$。

5. 如图 15.1.2 - 5,下列各图形是轴对称图形吗？如果是,请画出它们的一条对称轴.

答案： ①是轴对称图形，对称轴为底边上的高所在直线（画图略）。
②不是轴对称图形。
③是轴对称图形，对称轴为上下底中点连线所在直线（画图略）。
④是轴对称图形，对称轴为对边中点连线所在直线（画图略）。
⑤是轴对称图形，对称轴为水平、竖直及两条对角线所在直线（任画一条，画图略）。
⑥是轴对称图形，对称轴为顶点与对边中点连线所在直线（画图略）。

6. 到一条线段两个端点距离相等的点有无数个,这些点都在这条线段的垂直平分线上.

答案： 无数 垂直平分线

7. 如图 15.1.2 - 6,在 $ \triangle ABC $ 中,已知点 $ D $ 在 $ BC $ 上,且 $ BD + DA = BC $,则点 $ D $ 在线段AC的垂直平分线上.

答案： AC

8. 如图 15.1.2 - 7,已知 $ AB = AC $,$ MB = MC $.
(1) 直线 $ AM $ 是线段 $ BC $ 的垂直平分线吗？请说明理由.
(2) 你还有其他证明方法吗？

答案：
(1) 是。
理由：
∵ $ AB = AC $，
∴ 点 $ A $ 在线段 $ BC $ 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵ $ MB = MC $，
∴ 点 $ M $ 在线段 $ BC $ 的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线 $ AM $ 是线段 $ BC $ 的垂直平分线。
(2) 有。
证明：
在 $ \triangle ABM $ 和 $ \triangle ACM $ 中，
$ AB = AC $，$ MB = MC $，$ AM = AM $，
∴ $ \triangle ABM \cong \triangle ACM $（SSS）。
∴ $ \angle BAM = \angle CAM $。
∵ $ AB = AC $，
∴ $ AM \perp BC $，$ BN = CN $（等腰三角形三线合一）。
∴ 直线 $ AM $ 是线段 $ BC $ 的垂直平分线。