《2025年顶尖课课练八年级数学上册人教版》

9. 若等腰三角形的顶角与一个外角的和等于 210°,则顶角的度数为80°.

答案： 80°

10. 如图 13.3.2 - 9,点 D 是△ABC 的 BC 边上一点,且∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,∠BAC = 63°,则∠DAC 的度数为24°.

答案： 24°

11. 如图 13.3.2 - 10,在△ABC 中,∠B = ∠C,∠BAD = 40°,且∠ADE = ∠AED,求∠CDE 的度数.

答案： 20°

12. 如图 13.3.2 - 11,在图①中,点 P 为△ABC 的内角平分线的交点；在图②中,点 P 为△ABC 的内角平分线与外角平分线的交点；在图③中,点 P 为△ABC 外角平分线的交点. 我们已经探究得出在图①中∠P = 90° + $\frac{1}{2}$∠A,请分别探究在图②、图③中∠A 与∠P 的关系,并选择其中一个图加以说明.

答案： 图②中∠P与∠A的关系：∠P = $\frac{1}{2}$∠A
图③中∠P与∠A的关系：∠P = 90° - $\frac{1}{2}$∠A
选择图②说明：
设∠ABC = 2β，∠ACB的外角为∠ACE。
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC = β。
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE = ∠A + ∠ABC = ∠A + 2β。
∵CP平分∠ACE，
∴∠PCE = $\frac{1}{2}$∠ACE = $\frac{1}{2}$(∠A + 2β) = $\frac{1}{2}$∠A + β。
∵∠PCE是△PBC的外角，
∴∠PCE = ∠PBC + ∠P。
∴∠P = ∠PCE - ∠PBC = ($\frac{1}{2}$∠A + β) - β = $\frac{1}{2}$∠A。
结论： 图②中∠P = $\frac{1}{2}$∠A；图③中∠P = 90° - $\frac{1}{2}$∠A。