《2025年顶尖课课练八年级数学上册人教版》

10. 有一系列等式：
$1×2×3×4 + 1 = 5^2= (1^2 + 3×1 + 1)^2$,
$2×3×4×5 + 1 = 11^2= (2^2 + 3×2 + 1)^2$,
$3×4×5×6 + 1 = 19^2= (3^2 + 3×3 + 1)^2$,
$4×5×6×7 + 1 = 29^2= (4^2 + 3×4 + 1)^2$,
……
(1) 根据你的观察、归纳、发现的规律,写出$8×9×10×11 + 1的结果为\underline{\quad\quad}$；
(2) 试猜想$n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1$是哪一个数的平方,并予以证明。
(1) $\underline{$89^{2}$}$
(2) $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+3n+1)^{2}$，证明略

答案： （1）$89^{2}$ （2）$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+3n+1)^{2}$，证明略

11. 阅读解答：
(1) 填空：
$(a - b)(a + b)= \underline{$a^{2}-b^{2}$}$；
$(a - b)(a^2 + ab + b^2)= \underline{$a^{3}-b^{3}$}$；
$(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)= \underline{$a^{4}-b^{4}$}$；
(2) 类推：$(a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b+…+ab^{n - 2} + b^{n - 1})= \underline{$a^{n}-b^{n}$}$(其中$n$为正整数,且$n\geqslant2$)；
(3) 利用(2)的结论计算：
①$2^{21}+2^{20}+2^{19}+…+2^3 + 2^2 + 2 + 1$；
②$7^{16}-7^{15}+7^{14}-7^{13}+7^{12}-7^{11}+…-7^3 + 7^2 - 7$。
①$2^{22}-1$ ②$\frac{7^{17}-7}{8}$

答案： （1）$a^{2}-b^{2}$ $a^{3}-b^{3}$ $a^{4}-b^{4}$ （2）$a^{n}-b^{n}$ （3）①$2^{22}-1$ ②$\frac{7^{17}-7}{8}$