《2025年综合应用创新题典中点九年级数学全一册浙教版浙江专版》

12. 利用互余的两个角的正弦和余弦的关系,比较下列正弦值和余弦值的大小：$\sin10^{\circ}$,$\cos30^{\circ}$,$\sin50^{\circ}$,$\cos70^{\circ}$。

答案： 12.[解]cos30° = sin60°，cos70° = sin20°.
∵sin60°＞sin50°＞sin20°＞sin10°，
∴cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°.

13. [2025杭州模拟] 如图,有一个弓形的暗礁区,弓形所含的圆周角$\angle C = 50^{\circ}$,船在航行时,为保证不进入暗礁区,则船到两个灯塔$A$,$B的张角\angle ASB$应满足的条件是(D)

A.$\sin\angle ASB ＞ \sin25^{\circ}$
B.$\sin\angle ASB ＞ \sin50^{\circ}$
C.$\tan\angle ASB ＞ \tan50^{\circ}$
D.$\cos\angle ASB ＞ \cos50^{\circ}$

答案： 13.D [点拨]如图,设AS交弓形于点E,连结EB,由圆周角定理知,∠AEB = ∠C = 50°，
∵∠AEB是△SEB的一个外角，
∴∠AEB＞∠S,当∠S＜50°时船不进入暗礁区,
∴张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°，
∴cos∠ASB＞cos50°.

14. 如图,某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率,需在气体净化设备上增加一条管道$A - D - C$,已知$DC\perp BC$,$AB\perp BC$,$\angle A = 60^{\circ}$,$AB = 11\mathrm{m}$,$CD = 4\mathrm{m}$,则管道$A - D - C$的总长为______$\mathrm{m}$。

18

答案： 14.18

15. 情境题 生活应用 在坐标平面上,机器人能根据指令$[s,\alpha](s\geq0,0^{\circ}＜\alpha ＜ 180^{\circ})$完成下列动作：先原地顺时针旋转角度$\alpha$,再朝其对面方向沿直线行走距离$s$。
(1) 如图,若机器人在直角坐标系的原点,且面对$y$轴的正方向,现要使其移动到点$A(2,2)$,则给机器人发出的指令应是什么？
(2) 机器人在完成上述指令后,发现在$P(6,0)$处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动,已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同,若忽略机器人原地旋转的时间,请你给机器人发一个指令,使它能最快截住小球。(角度精确到度；参考数据：$\sin49^{\circ}\approx0.75$,$\cos37^{\circ}\approx0.80$,$\tan37^{\circ}\approx0.75$)

答案： 15.[解]
(1)如图,过点A作AB⊥x轴.
∵A(2,2)，
∴OB = 2，AB = 2，
∴易得OA = 2√2，∠AOB = 45°，
∴给机器人发出的指令为[2√2,45°].
(2)
∵P(6,0)，
∴OP = 6.如图,在x轴上找一点C,连结AC,使AC = PC,设PC = x，则BC = OP - OB - PC = 4 - x，在Rt△ABC中,2²+(4 - x)² = x²，解得x = 2.5.又
∵tan∠BAC = BC/AB = (4 - 2.5)/2 = 0.75，
∴∠BAC≈37°.易知∠OAB = 45°，
∴∠OAC≈37° + 45° = 82°，
∴∠DAC≈180° - 82° = 98°，
∴给机器人发的指令为[2.5,98°].

16. 新视角 猜想验证题
(1) 通过计算(可用计算器),比较下列各组数的大小,并提出你的猜想：
①$\sin30^{\circ}$=$2\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}$；
②$\sin36^{\circ}$=$2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}$；
③$\sin45^{\circ}$=$2\sin22.5^{\circ}\cos22.5^{\circ}$；
④$\sin60^{\circ}$=$2\sin30^{\circ}\cos30^{\circ}$；
⑤$\sin80^{\circ}$=$2\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}$。
猜想：已知$0^{\circ}＜\alpha ＜ 45^{\circ}$,则$\sin2\alpha$=$2\sin\alpha\cos\alpha$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。
(2) 如图①,图②,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 1$,$\angle BAC = 2\alpha$,请根据提示,利用面积方法验证结论。

答案： 16.[解]
(1)①= ②= ③= ④= ⑤= =
(2)
∵题图②中,AB = AC,AD⊥BC,
∴BC = 2BD.
∵题图①中△ABC的面积为1/2AC·BE = 1/2×1×1×sin2α = 1/2sin2α，题图②中△ABC的面积为1/2BC·AD = 1/2×2BD·AD = 1/2×2×1×sinα×1×cosα = sinαcosα，
∴sin2α = 2sinαcosα.