《2025年综合应用创新题典中点九年级数学全一册浙教版浙江专版》

15. 如图,若AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,$\angle CDB = 68^{\circ}$,则$\angle ABC$的度数为(A)

A.$22^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$32^{\circ}$
D.$68^{\circ}$

答案： A

16. 如图,在$\odot O$中,点C在$\overset{\frown}{AB}$上,$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}$,若$\angle BOD = 114^{\circ}$,则$\angle ACD$的大小是(C)

A.$114^{\circ}$
B.$66^{\circ}$
C.$57^{\circ}$
D.$52^{\circ}$

答案： C

17. 如图,已知四边形ABCD内接于$\odot O$,连结OA,OC,若$\angle AOC = 124^{\circ}$,则$\angle ADC$的度数是(C)

A.$122^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$118^{\circ}$
D.$116^{\circ}$

答案： C

18. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,E是BC延长线上一点,若$\angle BAD = 110^{\circ}$,则$\angle DCE$的度数是(B)

A.$140^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$55^{\circ}$

答案： B

19. 已知一个正多边形的一个内角是$140^{\circ}$,则这个正多边形的边数是(B)
A.8
B.9
C.10
D.11

答案： B

20. 如图,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,$\odot O$的半径为6,则这个正六边形的边心距OM的长为(D)

A.3
B.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$

答案： D

21. 如图,AB是$\odot O$的直径,AC是弦,$AB = 4$,$\angle A = 30^{\circ}$,则$\overset{\frown}{BC}$的长度为$\frac{2}{3}\pi$.

答案： $\frac{2}{3}\pi$

22. [2025嘉兴模拟]如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$\angle ABC = 2\angle D$,连结OA,OB,OC,AC,OB与AC相交于点E.
(1)求$\angle D$的度数；
(2)求$\angle OCA$的度数；
(3)若$\angle COB = 3\angle AOB$,$OC = 2\sqrt{3}$,求阴影部分的面积(结果保留$\pi$).

答案： （1）
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$\therefore \angle ABC + \angle D = 180^{\circ }$．
∵$\angle ABC = 2\angle D$，$\therefore \angle D + 2\angle D = 180^{\circ }$，$\therefore \angle D = 60^{\circ }$．（2）
∵$\angle D = 60^{\circ }$，$\therefore \angle AOC = 2\angle D = 120^{\circ }$．
∵OA = OC，$\therefore \angle OCA = \angle OAC = \frac{180^{\circ } - \angle AOC}{2}=30^{\circ }$．（3）
∵$\angle COB = 3\angle AOB$，$\therefore \angle AOC = \angle AOB + \angle COB = \angle AOB + 3\angle AOB = 120^{\circ }$，$\therefore \angle AOB = 30^{\circ }$，$\therefore \angle COB = 90^{\circ }$．在$Rt\triangle OCE$中，$OC = 2\sqrt{3}$，$\angle OCE = 30^{\circ }$，易知OE = 2，$\therefore S_{\triangle OEC}=\frac{1}{2}OE\cdot OC=\frac{1}{2}× 2× 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
∵$S_{扇形BOC}=\frac{90\pi × (2\sqrt{3})^{2}}{360}=3\pi$，$\therefore S_{阴影部分}=S_{扇形BOC}-S_{\triangle OEC}=3\pi - 2\sqrt{3}$．