《2025年综合应用创新题典中点九年级数学全一册浙教版浙江专版》

例1 如图,在△ABC中,DE//BC,AD= 2,BD= 3,AC= 10,则AE的长为(D)

A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
方法点拨：“A”型：如图①,由DE//BC,得△ADE∽△ABC；“X”型：如图②,由DE//BC,得∠E= ∠C,∠D= ∠B,则△ADE∽△ABC.

答案： D

变式1-1 如图,已知AB,CD相交于点O,OA= 4,OC= 3,EF是△ODB的中位线,且AC//EF,OE= 2,那么OB的长为(B)

A.3
B.$\frac{16}{3}$

C.2
D.$\frac{8}{3}$

答案： B

例2 如图,点D是△ABC的边AB上的一点,连结DC,则下列条件中不能判定△ABC∽△ACD的是(C)
A. ∠B= ∠ACD
B. ∠ADC= ∠ACB
C. $\frac{AC}{CD}= \frac{AB}{BC}$
D. $\frac{AC}{AD}= \frac{AB}{AC}$
方法点拨：如图,若∠1= ∠2,则△ADE∽△ABC.

答案： C

变式2-1 如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边上的点,∠ADE= ∠C,且$\frac{AE}{AB}= \frac{1}{2}$,则$S_{△ADE}:S_{△ABC}= $(D)

A.1:$\sqrt{3}$
B.1:2
C.1:3
D.1:4

答案： D

例3 如图,△ABC绕点B按顺时针方向旋转一定的角度得到△DBE,点D在边AC上,连结CE,求证：△BAD∽△BCE.

方法点拨：如图,已知∠1= ∠2,可得∠B'A'C'= ∠BAC,需找另一组角对应相等或夹∠B'A'C'与∠BAC的两边对应成比例.

答案： 【证明】根据旋转的性质,得△ABC≌△DBE,
∴AB=DB,∠ABC=∠DBE,BC=BE,
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC,
∴∠ABD=∠CBE.由AB=BD,BC=BE,得$\frac{AB}{BC}=\frac{DB}{BE}$,
∴△BAD∽△BCE.