《2025年综合应用创新题典中点九年级数学全一册浙教版浙江专版》

1. 如图,已知抛物线 $ L $ 的表达式为 $ y = x^2 - 4x $,点 $ M(0, n) $ 是 $ y $ 轴上的一点,将点 $ M $ 向右平移5个单位得到点 $ N $,若线段 $ MN $ 与 $ L $ 只有一个公共点,那么 $ n $ 的取值范围是(D)

A.$ n = -4 $
B.$ n = -4 $ 或 $ 0 ＜ n ＜ 5 $
C.$ 0 \leq n ＜ 5 $
D.$ n = -4 $ 或 $ 0 ＜ n \leq 5 $

答案： 1. D

2. 新考法 分类讨论法 如图,抛物线 $ L: y = \frac{1}{4}x^2 - 4 $ 与 $ x $ 轴分别交于点 $ A, B $(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $。将 $ L $ 沿直线 $ l: y = 4x - 4 $ 向上平移,平移后的抛物线记作 $ L' $,其顶点 $ M $ 的横坐标为 $ t(t ＞ 0 且 t \neq 2) $,设直线 $ n: y = t^2 $ 与抛物线 $ L' $ 分别交于点 $ P, Q $(点 $ P $ 在点 $ Q $ 的左侧)。
(1) 求 $ L $ 的顶点坐标及 $ A, B $ 两点之间的距离；
(2) 当点 $ P $ 在 $ y $ 轴上时,求 $ L' $ 的表达式及线段 $ PQ $ 的长。

答案： 2. [解]
(1)当$x = 0$时，$y=\frac{1}{4}x^2-4=-4$，
∴抛物线L的顶点坐标为$(0,-4)$.
令$y=\frac{1}{4}x^2-4=0$，解得$x=\pm4$，
∴A，B两点的坐标分别为$(-4,0)$和$(4,0)$.
∴A，B两点之间的距离为8.
(2)
∵平移前抛物线L的顶点$(0,-4)$在直线l上，
∴平移后抛物线$L'$的顶点M也在直线l上.
∴顶点M的坐标为$(t,4t - 4)$.
∴设抛物线$L'$的表达式为$y=\frac{1}{4}(x - t)^2+4t - 4$.
∵点P的纵坐标为$t^2$，
∴当点P在y轴上时，其坐标为$(0,t^2)$.
∴$t^2=\frac{1}{4}×(0 - t)^2+4t - 4$，解得$t_1=\frac{4}{3}$，$t_2 =4$.
①当$t=\frac{4}{3}$时，抛物线$L'$的表达式是$y=\frac{1}{4}(x-\frac{4}{3})^2+\frac{4}{3}$，点P的坐标为$(0,\frac{16}{9})$.
∴点Q的坐标为$(\frac{8}{3},\frac{16}{9})$，此时，$PQ=\frac{8}{3}$；
②当$t = 4$时，抛物线$L'$的表达式是$y=\frac{1}{4}(x - 4)^2+12$，点P的坐标为$(0,16)$.
∴点Q的坐标为$(8,16)$，此时，$PQ = 8$.

3. 已知抛物线 $ y = ax^2 + 2x + c $ 经过点 $ (1, 0) $ 和点 $ (-3, 0) $。
(1) $ a = $______,$ c = $______；
(2) 如果直线 $ y = -2x + k $ 与此抛物线有且只有一个交点,求 $ k $ 的值和该交点的坐标；
(3) 将该抛物线 $ x $ 轴下方部分沿 $ x $ 轴翻折,翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象,将该图象记为 $ M $,若直线 $ y = -2x + n $ 与图象 $ M $ 有两个交点,求 $ n $ 的取值范围。

答案：
3. [解]
(1)1；-3
(2)由题意得$\begin{cases}y=x^2+2x - 3\\y=-2x + k\end{cases}$，整理得$x^2+4x-(3 + k)=0$.
∵直线$y=-2x + k$与抛物线有且只有一个交点，
∴$4^2+4(3 + k)=0$，解得$k=-7$.此时$x_1=x_2=-2$，则$y=-2×(-2)-7=-3$，
∴交点的坐标为$(-2,-3)$.
(3)如图，

当直线$y=-2x + n$经过点$(-3,0)$时，直线与图象M有1个交点，
把点$(-3,0)$的坐标代入$y=-2x + n$，得$n=-6$；
当直线$y=-2x + n$经过点$(1,0)$时，直线与图象M有3个交点，把点$(1,0)$的坐标代入$y=-2x + n$，得$n = 2$；
令$-2x + n=-(x^2+2x - 3)$，整理得$x^2+n - 3=0$.
当$\Delta=-4(n - 3)=0$时，$n = 3$，此时直线与图象M有3个交点.
综上，结合图象可知，若直线$y=-2x + n$与图象M有两个交点，则n的取值范围为$-6 ＜ n ＜ 2$或$n ＞ 3$.