《2025年综合应用创新题典中点九年级数学全一册浙教版浙江专版》

例 1 立德树人 文化建设 在“融通古今,厚植文化自信”校园文化建设活动中,数学文化社团的小童和小龄计划从古代的赵爽、秦九韶,现代的陈景润、陈省身四名数学家中,各查找两名数学家的资料制作成文化宣传材料. 为了明确分工以及提高效率,小童和小龄决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字外完全相同的小球放入不透明的盒子中,摇匀后放在桌面上,两人轮流摸球,每次摸出一球,不放回,最后根据各自小球上数学家的名字制作宣传材料.
(1)若小童先摸,第一次摸中写有秦九韶名字的小球的概率是$\frac{1}{4}$；
(2)若小童先摸,然后小龄再摸,请利用画树状图或列表的方法,求两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率.将赵爽、秦九韶、陈景润、陈省身分别记为A,B,C,D,根据题意列表如下:小童 A B C D小龄 A (B,A) (C,A) (D,A)B (A,B) (C,B) (D,B)C (A,C) (B,C) (D,C)D (A,D) (B,D) (C,D)由列表可知，共有12种等可能的结果，其中两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有8种，
∴P(两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家)=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$.
方法点拨：对于两次操作事件的概率,如摸球,若不放回,则第二次就不能摸出第一次摸出的球.

答案：
(1)$\frac{1}{4}$
(2)将赵爽、秦九韶、陈景润、陈省身分别记为A,B,C,D,根据题意列表如下:小童 A B C D小龄 A (B,A) (C,A) (D,A)B (A,B) (C,B) (D,B)C (A,C) (B,C) (D,C)D (A,D) (B,D) (C,D)由列表可知，共有12种等可能的结果，其中两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有8种，
∴P(两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家)=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$.

变式 1 - 1 在一个不透明的盒子中装有分别标有数 $ 1,0.5,\sqrt{2},-\pi $ 的四个小球(小球除了数不同外,其余都相同),充分摇匀后从中随机取出一个小球(不放回)作为数 $ x $,再摇匀后随机取出一个小球作为数 $ y $.
(1)用列表法或树状图法列出所有 $ (x,y) $ 的情况；
(2)请求出点 $ (x,y) $ 在平面直角坐标系中第四象限的概率.

答案：
(1)列表如下:y 1 0.5 $\sqrt{2}$ -πx1 (1,0.5) (1,$\sqrt{2}$) (1,-π)0.5 (0.5,1) (0.5,$\sqrt{2}$) (0.5,-π)$\sqrt{2}$ ($\sqrt{2}$,1) ($\sqrt{2}$,0.5) ($\sqrt{2}$,-π)-π (-π,1) (-π,0.5) (-π,$\sqrt{2}$)
(2)由
(1)中表格可知，一共有12种等可能情况，其中点(x,y)在平面直角坐标系中第四象限的有(1,-π),(0.5,-π),($\sqrt{2}$,-π)，共3种情况。
∴点(x,y)在平面直角坐标系中第四象限的概率为$\frac{3}{12}$=$\frac{1}{4}$.

例 2 现有三张不透明的卡片,它们的背面完全一样,正面分别写有数 $ -1,1,2 $,现将三张卡片背面朝上,洗匀后放在桌子上.
(1)从中随机抽取一张卡片,正面的数是负数的概率为____；
(2)从中随机抽取一张卡片,记下数后放回,再随机抽取一张,记下卡片上的数,请用列表或画树状图的方法计算这两个数的积大于 $ 0 $ 的概率.
方法点拨：对于两次操作事件的概率,如摸卡片,若放回,则第二次摸到的卡片可能与第一次摸到的卡片相同.

答案：

(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如图。 共有9种等可能的结果，其中两个数的积大于0的结果有5种，
∴两个数的积大于0的概率为$\frac{5}{9}$.

变式 2 - 1 在中国传统文化中,龙象征着勇猛、力量和独立. 现有三张不透明的卡片,正面图案分别为“黑龙”“青龙”“白龙”,卡片除正面图案不同外其余均相同,将这三张卡片背面朝上并搅匀.
(1)若小丽从中随机抽取一张,“抽到卡片上的图案是黑龙”是随机事件；
(2)若小丽从中随机抽取一张,记下卡片上的图案后背面向上放回,重新洗匀后再从中随机抽取一张. 请用画树状图或列表的方法,求小丽两次抽取的卡片上的图案为“黑龙”和“白龙”的概率.

答案：
(1)随机
(2)列表如下: 黑龙 青龙 白龙黑龙 (黑龙,黑龙) (黑龙,青龙) (黑龙,白龙)青龙 (青龙,黑龙) (青龙,青龙) (青龙,白龙)白龙 (白龙,黑龙) (白龙,青龙) (白龙,白龙)共有9种等可能结果，其中两次抽取的卡片上的图案为“黑龙”和“白龙”的结果有2种，
∴小丽两次抽取的卡片上的图案为“黑龙”和“白龙”的概率为$\frac{2}{9}$.