《2025年综合应用创新题典中点九年级数学全一册浙教版浙江专版》

1. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴的交点个数：当 $ b^{2} - 4ac ＞ 0 $ 时,与 $ x $ 轴有两个交点；当 $ b^{2} - 4ac = 0 $ 时,与 $ x $ 轴有1个交点；当 $ b^{2} - 4ac ＜ 0 $ 时,与 $ x $ 轴有0个交点.

答案： 1;0

2. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的性质：
- (1)若 $ a ＞ 0 $,当 $ x \leqslant - \frac{b}{2a} $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,当 $ x \geqslant - \frac{b}{2a} $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,当 $ x = - \frac{b}{2a} $ 时, $ y = $$\frac{4ac-b^{2}}{4a}$, $ y $ 有最小值,无最大值；
(2)若 $ a ＜ 0 $,当 $ x \leqslant - \frac{b}{2a} $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,当 $ x \geqslant - \frac{b}{2a} $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,当 $ x = - \frac{b}{2a} $ 时, $ y = $$\frac{4ac-b^{2}}{4a}$, $ y $ 有最大值,无最小值.

答案：
(1)减小;增大;$\frac{4ac-b^{2}}{4a}$;最小;最大
(2)增大;减小;$\frac{4ac-b^{2}}{4a}$;最大;最小

1. 关于抛物线 $ y = x^{2} + 2x - 2 $,下列说法错误的是 (B)
A. 开口向上
B. 顶点坐标为 $ (1, - 3) $
C. 函数的最小值是 $ - 3 $
 D. 对称轴为直线 $ x = - 1 $

答案： B

2. [2025 温州模拟] 若二次函数 $ y = x^{2} + 2x - 3 $ 的图象经过 则（A）
$A. y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $
$B. y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$
$C. y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$
$D. y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2} $

答案： A

3. [2025 嘉兴月考] 已知函数 $ y = kx^{2} + 2kx + 1(k ＜ 0) $,当 $ x ＜ m $ 时, $ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大,则 $ m $ 的值可能为 (A)
A-2
B0
C1
D2

答案： A

4. [2025 杭州月考] 如果二次函数 $ y = x^{2} - 4x + c $ 的最小值为 $ 0 $,那么 $ c $ 的值等于 (B)
A2
B4
C-2
D0

答案： B

5. 新视角 结论开放题 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象的顶点在 $ y $ 轴正半轴上,且在对称轴左侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,那么这个二次函数的表达式可以是$y=-x^{2}+1$(答案不唯一).

答案： $y=-x^{2}+1$(答案不唯一)

6. 一个二次函数的自变量 $ x $ 与函数 $ y $ 的几组对应值如下表,其中 $ a $ 的值为4.
| $ x $ | …$ $ | $ - 5 $ | $ - 4 $ | $ - 3 $ | $ - 2 $ | $ - 1 $ | $ 0 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 4 $ | $ 0 $ | $ - 2 $ | $ - 2 $ | $ 0 $ | $ a $ | …$ $ |

答案： 4

7. 如图,已知二次函数 $ y = - x^{2} - 2x + c $ 的图象经过 $ A(1, - 2) $.\n(1)求自变量 $ x $ 在什么范围内, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；\n(2)当 $ y \leqslant - 2 $ 时,请根据图象直接写出 $ x $ 的取值范围.

答案： 【解】
(1)易知该二次函数图象的对称轴为直线$x=-1$,开口向下，
∴当$x\geqslant-1$时,y随x的增大而减小.
(2)当$y\leqslant-2$时,x的取值范围为$x\leqslant-3$或$x\geqslant1$.

8. 二次函数 $ y = x^{2} + x - 6 $ 的图象与 $ x $ 轴的交点是 (D)
A. $ (3, 0) $ 和 $ (2, 0) $
B. $ (3, 0) $ 和 $ (- 2, 0) $
C. $ (- 3, 0) $ 和 $ (- 2, 0) $
D. $ (- 3, 0) $ 和 $ (2, 0) $

答案： D

9. 已知抛物线 $ y = x^{2} + 2x - 3 $ 与坐标轴交于 $ A $, $ B $, $ C $ 三点,则 $ \triangle ABC $ 的面积是6.

答案： 6