《2025年综合应用创新题典中点九年级数学全一册浙教版浙江专版》

1. 如图,$\odot O$的半径为5,弦$AB = 8$,$P是弦AB$上的一个动点,则$OP$的长度范围是(D)

A.$8\leqslant OP\leqslant 10$
B.$5\leqslant OP\leqslant 8$
C.$4\leqslant OP\leqslant 5$
D.$3\leqslant OP\leqslant 5$

答案： D

2. 如图,半径为5的$\odot A与y轴交于点B(0,2)$,$C(0,10)$,则点$A$的横坐标为(A)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： A

3. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,以点$C$为圆心,$CA长为半径的圆与AB交于点D$,则$AD$的长为(C)

A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{21}{5}$
C.$\frac{18}{5}$
D.$\frac{5}{2}$

答案： C

4. 新考法 分类讨论法 已知$\odot O的直径CD = 10$,$AB是\odot O$的弦,$AB = 8$,且$AB\perp CD于M$,则$AC$的长为(C)
A.$2\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}或4\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{3}或4\sqrt{3}$

答案： C

5. 新考向 传统文化 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车。如图,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心$O$为圆心的圆,已知圆心$O$在水面的上方,$\odot O被水面截得的弦AB$长为16米,水面到运行轨道最低点的距离为4米,则$\odot O$的半径为10米。

答案： 10

6. 如图,$OA = OB$,$AB交\odot O于点C$,$D$,$OE$是半径,且$OE\perp AB于点F$。
(1)求证：$AC = BD$；
(2)若$CD = 6$,$EF = 1$,求$\odot O$的半径。

答案： （1）【证明】
∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，
∴CF=DF.
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴AF=BF，
∴AF - CF=BF - DF，
即AC=BD.
（2）【解】如图，连结OC.
∵OE⊥AB，CD=6，CF=DF，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=3，∠OFC=90°，
∴CO²=CF²+OF².
设⊙O的半径是r，则OF=r - 1，
∴r²=3²+(r - 1)²，
解得r=5.
∴⊙O的半径是5.

7. 如图,在$\odot O$中,弦$AB// CD$,$AB = 8$,$CD = 6$,$AB$,$CD$之间的距离为1。
(1)求$\odot O$的半径；
(2)将弦$AB绕着圆心O$旋转一周,求弦$AB$扫过的面积。(结果保留$\pi$)

答案： 【解】（1）如图，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连结OA，OD，则DF=CF=$\frac{1}{2}$OD=3.
∵AB//CD，
∴OE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4.设OE=x，则OF=x + 1.在
Rt△AEO中，OA²=OE²+AE²=x²+4²，
在Rt△DFO中，OD²=OF²+DF²=(x + 1)²+3².
∵OA=OD，
∴x²+4²=(x + 1)²+3²，解得x=3，
∴OD=OA=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5，即⊙O的半径为5.
（2）将弦AB绕着圆心O旋转一周，得到的图形是以点O为圆心，3为半径的圆与以点O为圆心，5为半径的圆所围成的圆环，故弦AB扫过的面积=π×5² - π×3²=16π.