《2025年综合应用创新题典中点九年级数学全一册浙教版浙江专版》

10. [2025 丽水模拟]如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$BC= 5$,$AC= 12$,$CD⊥AB于D$.求：(1)$sinA$的值；(2)$cos∠ACD$的值；(3)$CD$的值.

答案： [解]
(1)
∵∠ACB=90°,BC=5,AC=12,
∴AB=13.
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{5}{13}$.
(2)
∵CD⊥AB于D,∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,
∴∠B=∠ACD,
∴cos∠ACD=cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{5}{13}$.
(3)
∵AC=12,sinA=$\frac{5}{13}$,
∴sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CD}{12}$=$\frac{5}{13}$,
∴CD=$\frac{60}{13}$.

11. 母题·教材 P7 作业题 T7 如图,一根 3m 长的竹竿$AB$斜靠在竖直的墙上,沿着墙下滑,点$A下滑至点A'$,点$B移至点B'$,设$∠ABC= α$,$∠A'B'C= β$,则$AA'= $A( )

A.$(3sinα - 3sinβ)m$
B.$(3cosα - 3cosβ)m$
C.$(\frac {3}{tanα}-\frac {3}{tanβ})m$
D.$(3tanα - 3tanβ)m$

答案： A [点拨]在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=α,则sinα=$\frac{AC}{AB}$,即AC=AB·sinα=3sinαm,同理,A'C=A'B'·sinβ=3sinβm,
∴AA'=AC - A'C=(3sinα - 3sinβ)m.

12. 新考向 数学文化 如图为我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形,人们称它为“赵爽弦图”.图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是 120,小正方形的面积是 20,则$sinθ - cosθ= $______.

答案：
-$\frac{\sqrt{6}}{6}$ [点拨]如图所示.
∵大正方形的面积是120,小正方形的面积是20,
∴大正方形的边长AB=2$\sqrt{30}$,小正方形的边长CD=2$\sqrt{5}$.
∵AC=BD,
∴sinθ - cosθ=$\frac{BD}{AB}$ - $\frac{AD}{AB}$=-$\frac{AD - BD}{AB}$=-$\frac{CD}{AB}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{30}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$.

13. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠B= 90^{\circ }$,$AB= 5$,$BC= 12$,将$△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE$,使得点$D落在AC$上,连结$EC$,则$tan∠ECD$的值为______.

答案： $\frac{3}{2}$ [点拨]
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,
∴AC=$\sqrt{AB^2 + BC^2}$=13.
由旋转得AD=AB=5,DE=BC=12,∠ADE=∠B=90°,
∴∠CDE=90°,CD=AC - AD=8,
∴tan∠ECD=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{12}{8}$=$\frac{3}{2}$.

14. 在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$a$,$b$,$c分别为∠A$,$∠B$,$∠C$的对边,若$a^{2}= bc$,则$sinB= $$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ [点拨]
∵a²=bc,
∴b=$\frac{a^2}{c}$,
∴sinB=$\frac{b}{c}$=$\frac{\frac{a^2}{c}}{c}$=$\frac{a^2}{c^2}$=($\frac{a}{c}$)²=sin²A.
∵sinB=$\frac{b}{c}$,
∴sin²B=$\frac{b^2}{c^2}$,
∴sin²A+sin²B=$\frac{a^2 + b^2}{c^2}$=$\frac{c^2}{c^2}$=1.
∴sin²B+sinB - 1=0,
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(负值已舍去).

15. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$a$,$b$,$c分别表示Rt△ABC中∠A$,$∠B$,$∠C$的对边.
(1)$sinA= $$\frac{a}{c}$,$cosB= $$\frac{a}{c}$,$tanA= $$\frac{a}{b}$,$tanB= $$\frac{b}{a}$；
(2)观察(1)的计算结果,你能发现$sinA与cosB$,$tanA与tanB$之间有什么关系吗？
[解]由(1)知sinA=cosB,tanA·tanB=1.
(3)①若$sinA= \frac {2}{3}$,则$cosB= $$\frac{2}{3}$；
②若$tanA= 2$,则$tanB= $$\frac{1}{2}$.
(4)若$sin^{2}A表示(sinA)^{2}$,$cos^{2}A表示(cosA)^{2}$,求证：$sin^{2}A+cos^{2}A= 1$.
[证明]∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴a²+b²=c².∵sinA=$\frac{a}{c}$,cosA=$\frac{b}{c}$,∴sin²A+cos²A=($\frac{a}{c}$)²+($\frac{b}{c}$)²=$\frac{a^2 + b^2}{c^2}$=1.

答案：
(1)$\frac{a}{c}$;$\frac{a}{c}$;$\frac{a}{b}$;$\frac{b}{a}$
(2)[解]由
(1)知sinA=cosB,tanA·tanB=1.
(3)①$\frac{2}{3}$ ②$\frac{1}{2}$
(4)[证明]
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴a²+b²=c².
∵sinA=$\frac{a}{c}$,cosA=$\frac{b}{c}$,
∴sin²A+cos²A=($\frac{a}{c}$)²+($\frac{b}{c}$)²=$\frac{a^2 + b^2}{c^2}$=1.

16. 新趋势 学科内综合 在平面直角坐标系$xOy$中,反比例函数$y= \frac {k}{x}$($k为常数且k≠0$)的图象上有一点$A(-3,m)$,且与直线$y= -2x+4交于另一点B(n,6)$.
(1)求$k与m$的值；
(2)过点$A作直线l// x$轴,与直线$y= -2x+4交于点C$,求$sin∠OCA$的值.

答案：
[解]
(1)把B(n,6)的坐标代入y=-2x+4,得6=-2n+4,解得n=-1,
∴B(-1,6),
把B(-1,6)的坐标代入y=$\frac{k}{x}$,得k=-1×6=-6,
∴y=-$\frac{6}{x}$,
把A(-3,m)的坐标代入y=-$\frac{6}{x}$,得m=-$\frac{6}{-3}$=2.
(2)由
(1)知,A(-3,2),设l与y轴相交于D,如图.
∵l//x轴,x轴⊥y轴,
∴A,C,D三点的纵坐标相同,均为2,∠CDO=90°,
∴OD=2.
把y=2代入y=-2x+4,得2=-2x+4,解得x=1,
∴C(1,2),
∴CD=1,
∴OC=$\sqrt{CD^2 + OD^2}$=$\sqrt{5}$,

∴sin∠OCA=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.