《2025年综合应用创新题典中点九年级数学全一册浙教版浙江专版》

例1 母题 教材P78作业题T2 如图,在$\odot O$中,半径$OC\perp AB于点D$。已知$\odot O$的半径为3,$AB = 4$。求$DC$的长(精确到0.01)。

方法点拨：求圆中的弦长或其他线段长时,通常连半径,由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解。

答案： 【解】连结OA.
∵OC⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴OD=$\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}$=$\sqrt{3^{2}-2^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴DC=OC-OD=3-$\sqrt{5}$≈0.76.

变式1-1 如图,$\odot O的直径CD = 10$,$AB是\odot O$的弦,$AB\perp CD$,垂足为$M$,$OM:MC = 3:2$,则$AB$的长为(D)

A.$8\sqrt{3}$

B.4
C.16
D.8

答案： D

变式1-2 如图,在$\odot O$中,弦$AB$的长为2,点$C在AB$上移动,连结$OC$,过点$C作CD\perp OC交\odot O于点D$,则$CD$的最大值为(D)

A.4
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.1

答案： D

例2 母题 教材P78作业题T6 已知：如图,在$\odot O$中,弦$AB// CD$。求证：$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BD}$。

方法点拨：当圆中出现弦时,通常过圆心作弦的垂线,再连半径构造直角三角形,可通过垂径定理或勾股定理解题。

答案： 【证明】过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E，
∵AB//CD，
∴OE⊥CD.
∴弧AE=弧EB，弧CE=弧ED.
∴弧CE - 弧AE=弧ED - 弧EB，
即弧AC=弧BD.

变式2-1 如图,在半圆$ACB$中,$AB = 6$,将半圆$ACB沿弦BC$所在的直线折叠,若弧$BC恰好过圆心O$,则$BC$的长是(A)

A.$3\sqrt{3}$
B.$2\pi$
C.$3\sqrt{2}$

D.$2\sqrt{6}$

答案： A

变式2-2 如图,在$\odot O$中,弦$AB与弦CD交于点P$,且$AB\perp CD$,$DP = 2$,$CP = 6$,$AP = 4$,则$\odot O$的半径为(C)

A.$\sqrt{65}$
B.4
C.$\frac{\sqrt{65}}{2}$
D.5

答案： C