《2025年综合应用创新题典中点九年级数学全一册浙教版浙江专版》

变式4-2 如图,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F在DC上,若∠AEF= 90°,连结AF,图中有哪些相似三角形？请证明.

答案： △ABE∽△ECF∽△AEF.证明如下:在正方形ABCD中,BC=AB.
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°.
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵∠AEF=90°.
∴∠AEB+∠CEF=90°.
∴∠BAE=∠CEF.
∴△ABE∽△ECF.
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{CE}=2$,
∴BE=CE=2CF.设CF=a,则BE=CE=2a,则AB=BC=4a,在Rt△ABE和Rt△CEF中,AE=$\sqrt{(4a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{5}a$,EF=$\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$.
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{2\sqrt{5}a}{\sqrt{5}a}=2$,
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{BE}$,
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BE}$.又
∵∠AEF=∠B=90°,
∴△AEF∽△ABE.
∴△ABE∽△ECF∽△AEF.

1. 如图,△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DE//AC,若DB= 4,AB= 6,BE= 3,则BC的长是(B)

A.4
B.4.5
C.2.5
D.2

答案： B

2. 如图,已知在□ABCD中,点E是AD上一点,且AE= 2ED,连结BE交AC于点G,延长BE交CD的延长线于点F,则$\frac{BG}{GF}$的值为(A)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： A

3. 如图,点P是△ABC的边AB上的一点,若添加一个条件,使△ABC与△CBP相似,则下列所添加的条件错误的是(D)

A.∠BPC= ∠ACB
B.∠A= ∠BCP
C.AB:BC= BC:PB
D.AC:CP= AB:BC

答案： D

4. 如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,∠ADE= 60°,若BD= 4DC,DE= 2.4,则AD的长为(C)

A.1.8
B.2.4
C.3
D.3.2

答案： C【点拨】
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC,∠ADE=60°,
∴∠BDE=∠DAC.
∴△ADC∽△DEB,
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}$.
∵BD=4DC,
∴BD=$\frac{4}{5}$BC,
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}=\frac{BC}{\frac{4}{5}BC}=\frac{5}{4}$,
∵DE=2.4,
∴AD=$\frac{5}{4}$×DE=3.

5. 如图①,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,AB= 8,BC= 6,D是AB上一点,且AD= 2,过点D作DE//BC交AC于点E,将△ADE绕A点顺时针旋转到图②的位置,则图②中$\frac{BD}{CE}$的值为$\frac{4}{5}$.

答案： $\frac{4}{5}$【点拨】
∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=10$.
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$.
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD.
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE,
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

6. 如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE. 已知AB= 8,AC= 6,DE= 4.
(1)求证：△ABC∽△DEB；
(2)求线段BD的长.

答案：
(1)【证明】
∵AC⊥AD,ED⊥AD,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠C+∠ABC=90°.
∵CB⊥BE,
∴∠ABC+∠EBD=90°,
∴∠C=∠EBD.
∴△ABC∽△DEB.
(2)【解】
∵△ABC∽△DEB,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{BD}$.
∵AB=8,AC=6,DE=4,
∴$\frac{8}{4}=\frac{6}{BD}$,
∴BD=3.