《2025年快乐暑假课程衔接组合卷七年级数学北师大版》

18. 如图,已知$△ABC$中,$AB= AC,CD⊥AB$于点D。试说明：$∠BAC= $$2∠DCB$。

答案： 因为 $CD \perp AB$，所以 $ \angle BDC = 90^{\circ}$，所以 $ \angle B + \angle DCB = 90^{\circ}$，所以 $ \angle DCB = 90^{\circ} - \angle B$。因为 $AB = AC$，所以 $ \angle B = \angle ACB$，所以 $ \angle BAC = 180^{\circ} - 2\angle B = 2(90^{\circ} - \angle B) = 2\angle DCB$，即 $ \angle BAC = 2\angle DCB$。

19. 已知:如图,在等腰直角三角形ABC中,$∠A= 90^{\circ }$,D为BC的中点,E,F分别为AB,AC上的点,且满足$EA= CF$。试说明：$DE= DF$。

答案：
如图，连接 $AD$。因为 $ \triangle ABC$ 为等腰直角三角形，$D$ 为 $BC$ 的中点，所以 $AD = DC$，$AD$ 平分 $ \angle BAC$，$ \angle C = 45^{\circ}$。在 $ \triangle ADE$ 和 $ \triangle CDF$ 中，$\begin{cases}EA = FC, \\ \angle EAD = \angle C = 45^{\circ}, \\ AD = CD, \end{cases}$ 所以 $ \triangle ADE \cong \triangle CDF(SAS)$，所以 $DE = DF$。

20. 如图,将笔记本活页一角折过去,使角的顶点A落在$A'$处,BC为折痕。
(1)图1中,若$∠1= 30^{\circ }$,求$∠A'BD$的度数;
(2)如果又将活页的另一角折过去,使BD边落在$BA'$上,折痕为BE,如图2所示。若$∠1= 30^{\circ }$,求$∠2和∠CBE$的度数;
(3)如果在图2中改变$∠1$的大小,则$BA'$的位置也随之改变,那么问题(2)中$∠CBE$的大小是否改变？请说明理由。

答案：
(1) $ \angle A'B D = 120^{\circ}$。
(2) $ \angle 2 = 60^{\circ}$，$ \angle CBE = 90^{\circ}$。
(3) $ \angle CBE$ 的大小不变。理由略。