《2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版》

17. (8分)一个长方体塑料容器中装满水,该塑料容器的底面是长为$4\sqrt{3}\text{ cm}$,宽为$3\sqrt{2}\text{ cm}$的长方形.现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为$2\sqrt{2}\text{ cm}$的圆柱形玻璃容器中,玻璃容器水面高度上升了$3\sqrt{2}\text{ cm}$,求长方体塑料容器中的水面下降的高度.(注意:$\pi$取3)

答案： 解:设长方体塑料容器中的水面下降的高度为$x\ \text{cm}$.根据题意,得$4\sqrt{3}×3\sqrt{2}x=3×(2\sqrt{2})^{2}×3\sqrt{2}$.解得$x=2\sqrt{3}$.答:长方体塑料容器中水面下降的高度为$2\sqrt{3}\ \text{cm}$.

18. (8分)求代数式$a+\sqrt{1-2a+a^2}$的值,其中$a= 1007$.如图是小亮和小芳的解答过程:

(1)______的解法是错误的;
(2)错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质:______;
(3)求代数式$a+2\sqrt{a^2-6a+9}$的值,其中$a= -2023$.

答案： 解:
(1)小亮
(2)$\sqrt{a^{2}}=|a|=\begin{cases} a(a\geqslant0), \\ -a(a＜0). \end{cases}$
(3)当$a=-2023$时,$a-3＜0$,则原式$=a+2\sqrt{(a-3)^{2}}=a+2|a-3|=a-2(a-3)=a-2a+6=-a+6=2023+6=2029$.

19. (10分)一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt{2}= (1+\sqrt{2})^2$.
设$a+b\sqrt{2}= (m+n\sqrt{2})^2$(其中$a,b,m,n$均为正整数),则有$a+b\sqrt{2}= m^2+2n^2+2\sqrt{2}mn$.
所以$a= m^2+2n^2,b= 2mn$.这样可以把部分$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式.
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题:
(1)当$a,b,m,n$均为正整数时,若$a+b\sqrt{3}= (m+n\sqrt{3})^2$,用含$m,n的式子分别表示a,b$,得$a= $______, $b= $______;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数$a,b,m,n$填空:______+______$\sqrt{5}= $(______+______$\sqrt{5})^2$;
(3)化简:$\frac{1}{\sqrt{16-6\sqrt{7}}}-\frac{1}{\sqrt{11+4\sqrt{7}}}$.

答案： 解:
(1)$m^{2}+3n^{2}$ $2mn$
(2)21 4 1 2(答案不唯一)
(3)$\frac{1}{\sqrt{16-6\sqrt{7}}}-\frac{1}{\sqrt{11+4\sqrt{7}}}=\frac{1}{\sqrt{(3-\sqrt{7})^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{7}+2)^{2}}}=\frac{1}{3-\sqrt{7}}-\frac{1}{\sqrt{7}+2}=\frac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}-\frac{\sqrt{7}-2}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)}=\frac{3+\sqrt{7}}{2}-\frac{\sqrt{7}-2}{3}=\frac{3(3+\sqrt{7})-2(\sqrt{7}-2)}{6}=\frac{9+3\sqrt{7}-2\sqrt{7}+4}{6}=\frac{13+\sqrt{7}}{6}$.