《2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版》

10. 如图,已知 $\triangle ABC$ 的周长为 $1$,连接 $\triangle ABC$ 三边的中点构成第二个三角形,再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形……依此类推,第 $2023$ 个三角形的周长为______。

答案： $\frac{1}{2^{2022}}$

11. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,点 $E$ 是 $CD$ 的中点,点 $F$ 是 $BC$ 上一点,且 $FC = 2BF$,连接 $AE$,$EF$,$AF$。若 $AB = 2$,$AD = 3$,则 $\angle AEF$ 的度数为______。

答案： $45^{\circ}$

12. 矩形 $ABCD$ 与矩形 $ECFG$ 如图放置,点 $B$,$C$,$F$ 在同一直线上,点 $C$,$E$,$D$ 在同一直线上,连接 $AG$,取 $AG$ 的中点 $H$,连接 $EH$。若 $AB = CF = 4$,$BC = CE = 2$,则 $EH = $______。

答案： $\sqrt{2}$

13. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,$AD = 6$,$E$ 是 $AD$ 上一点,$AE = 1$,$P$ 是 $BC$ 上一动点,连接 $AP$,取 $AP$ 的中点 $F$,连接 $EF$,当线段 $EF$ 取得最小值时,线段 $PD$ 的长度是______。

答案： 5

14. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,连接 $BD$,$E$ 为线段 $AD$ 的中点,延长 $BE$ 与 $CD$ 的延长线交于点 $F$,连接 $AF$,$\angle BDF = 90^{\circ}$。
(1) 求证：四边形 $ABDF$ 是矩形；
(2) 若 $AD = 5$,$DF = 3$,求四边形 $ABCF$ 的面积 $S$。

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB//CD,即 AB//CF,
∴ ∠BAE =∠FDE.
∵ E 为线段 AD 的中点,
∴ AE =DE.又
∵ ∠AEB =∠DEF,
∴ △ABE≌△DFE(ASA),
∴ AB =DF.
∵ AB//DF,
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形.
∵ ∠BDF =90°,
∴ 四边形 ABDF 是矩形.
(2)解:由
(1)知,四边形 ABDF 是矩形,
∴ AB =DF =3,∠AFD =90°.
∴ 在 Rt△ADF 中,AF =$\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB =CD =3.
∴ CF =CD +DF =3 +3 =6.
∴ S =$\frac{1}{2}$(AB +CF)·AF =$\frac{1}{2}$×(3 +6)×4 =18.