《2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版》

16. 如图,在笔直的河流一侧有一旅游地$C$,河边有两个景点$A,B$,其中$AB= AC$。由于某种原因,由$C到A$的路现在已经行不通,为方便游客,决定在河边新建一个景点$H(A,H,B$三点在同一直线上),并新修一条路$CH$,测得$BC= 5$千米,$CH= 4$千米,$BH= 3$千米。
(1)判断$△BCH$的形状,并说明理由；
(2)求原路线$AC$的长。

答案：
(1)△BCH是直角三角形，理由:在△CHB中，
∵CH² + BH² = 4² + 3² = 25，BC² = 25，
∴CH² + BH² = BC²。
∴△BCH是直角三角形且∠CHB = 90°。
(2)设AC = AB = x千米，则AH = AB - BH = (x - 3)千米，在Rt△ACH中，由勾股定理，得x² = (x - 3)² + 4²，解得x = $\frac{25}{6}$。答:原路线AC的长为$\frac{25}{6}$千米。

17. 如图,连接四边形$ABCD的对角线AC$,已知$∠B= 90^{\circ},BC= 1,AB= \sqrt{3},CD= 2,AD= 2\sqrt{2}$。
(1)求证：$△ACD$是直角三角形；
(2)求四边形$ABCD$的面积。

答案：
(1)证明:
∵∠B = 90°，
∴△ABC是直角三角形。由勾股定理，得AC² = AB² + BC²，
∴AC = $\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}$ = 2。
∵AD² = 8，CD² = 4，AC² = 4，
∴AD² = AC² + CD²。
∴△ACD是直角三角形。
(2)解:S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD，S△ABC = $\frac{1}{2}$×BC×AB = $\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，S△ACD = $\frac{1}{2}$×CD×AC = $\frac{1}{2}$×2×2 = 2，
∴S四边形ABCD = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ + 2。答:四边形ABCD的面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}$ + 2。

1. 若一个直角三角形的两边长分别是6,8,则第三边长为( )

A.10或8
B.$2\sqrt{7}$
C.10或$2\sqrt{7}$
D.14

答案： C

2. 若一个直角三角形的两条边的长分别为5,12,则该直角三角形斜边上的高为______。

答案： $\frac{5\sqrt{119}}{12}$或$\frac{60}{13}$

3. 一个等腰三角形的一边长为4,另一边长为6,则这个等腰三角形的面积是( )

A.$3\sqrt{7}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{7}或16\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{7}或8\sqrt{2}$

答案： D

4. 在$△ABC$中,$AB= 13,AC= 15$,高$AD= 12$,则$BC$的长为______。

答案： 14或4