《2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版》

15. 一个长方形的长和面积分别是$\sqrt{10}和4\sqrt{5}$,则这个长方形的宽为______。

答案： $ 2\sqrt{2} $

16. 一个三角形的周长为$(5\sqrt{5} + 2\sqrt{10}) \text{cm}$,面积为$(20\sqrt{6} + 4\sqrt{5}) \text{cm}^2$,已知两边的长分别为$\sqrt{45} \text{cm}和\sqrt{40} \text{cm}$,求：
(1)第三边的长；
(2)第三边上的高。

答案： 解:由题意,得$ (5\sqrt{5}+2\sqrt{10})-\sqrt{45}-\sqrt{40}=2\sqrt{5} $(cm).
(2)$ 2× (20\sqrt{6}+4\sqrt{5})÷ 2\sqrt{5}=4\sqrt{30}+4 $(cm).

17. 观察分析下列数据,寻找规律：$0$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{6}$,$3$,$2\sqrt{3}$,$\sqrt{15}$,$3\sqrt{2}$,…$$,那么第$50$个数是______。

答案： $ 7\sqrt{3} $

18. 观察下列各式：$2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$,$3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$,$4\sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{4 + \frac{4}{15}}$,…$$,针对上述各式反映的规律,写出用$n$($n$为自然数,且$n \geq 2$)表示的等式：______。

答案： $ n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}} $

19. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} = 1 + \frac{1}{1 × 2} = 1 + (1 - \frac{1}{2})；$
$\sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} = 1 + \frac{1}{2 × 3} = 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})；$
$\sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} = 1 + \frac{1}{3 × 4} = 1 + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})；$
…请利用你发现的规律计算：$\sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} + … + \sqrt{1 + \frac{1}{2022^2} + \frac{1}{2023^2}}。$

答案： 解:原式$ =1+\frac{1}{1× 2}+1+\frac{1}{2× 3}+1+\frac{1}{3× 4}+\cdots +1+\frac{1}{2022× 2023} =2022+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023} =2023-\frac{1}{2023} =2022\frac{2022}{2023} $.