《2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版》

5. 如图,在平面直角坐标系中,已知$A(a,0),B(0,b)$,其中a,b满足关系式$\sqrt {a-6}+|b-8|= 0$,
(1)求出A,B两点坐标;
(2)若$C(4,0),D(0,2)$,连接AD,BC交于点E,设E点坐标为$E(m,n)$,求$\triangle ABE$的面积.

答案：
(1)
∵$\sqrt{a - 6}$+|b - 8|=0,
∴a - 6=0,b - 8=0.
∴a=6,b=8.
∴A点坐标为(6,0),B点坐标为(0,8).
(2)如图,过点E作EN⊥OA,EM⊥OB,分别交OA,OB于点N,M,设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(0,8),C(4,0)代入上式,得$\begin{cases}8 = b \\ 0 = 4k + b \end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -2 \\ b = 8 \end{cases}$.
∴直线BC的解析式为y=-2x+8.设直线AD的解析式为y=mx+n,将D(0,2),A(6,0)代入上式,得$\begin{cases}2 = n \\ 0 = 6m + n \end{cases}$,解得$\begin{cases}m = -\frac{1}{3} \\ n = 2 \end{cases}$.
∴直线AD的解析式为y=$-\frac{1}{3}$x+2.联立$\begin{cases}y = -2x + 8 \\ y = -\frac{1}{3}x + 2 \end{cases}$,解得$\begin{cases}x = \frac{18}{5} \\ y = \frac{4}{5} \end{cases}$.
∴E($\frac{18}{5}$,$\frac{4}{5}$).
∴EN=$\frac{4}{5}$,EM=$\frac{18}{5}$.
∴S△ABE=S△AOB - S△DBE - S△OAD=$\frac{1}{2}$×8×6 - $\frac{1}{2}$×(8 - 2)×$\frac{18}{5}$ - $\frac{1}{2}$×6×2=$\frac{36}{5}$.

6. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为$(6,4)$,E为AB的中点,过点$D(8,0)$和点E的直线分别与BC,y轴交于点F,G.
(1)求直线DE的解析式;
(2)函数$y= mx-2$的图象经过点F且与x轴交于点H,求出点F的坐标和m的值;
(3)在(2)的条件下,求出四边形OHFG的面积.

答案：
(1)设直线DE的解析式为y=kx+b.
∵顶点B的坐标为(6,4),E为AB的中点,
∴E(6,2).
∵D(8,0),
∴$\begin{cases}6k + b = 2 \\ 8k + b = 0 \end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = 8 \end{cases}$.
∴直线DE的解析式为y=-x+8.
(2)
∵点F的纵坐标为4,且点F在直线DE上,
∴-x+8=4,解得x=4.
∴F(4,4).
∵函数y=mx - 2的图象经过点F,
∴4m - 2=4,解得m=$\frac{3}{2}$.
(3)由
(2)得直线FH的解析式为y=$\frac{3}{2}$x - 2,令$\frac{3}{2}$x - 2=0,解得x=$\frac{4}{3}$.
∴H($\frac{4}{3}$,0).
∵G是直线DE与y轴的交点,
∴G(0,8).
∴OH=$\frac{4}{3}$,CF=4,OC=4,CG=OG - OC=4.
∴S四边形OHFG=S梯形OHFC+S△CFG=$\frac{1}{2}$×($\frac{4}{3}$ + 4)×4 + $\frac{1}{2}$×4×4=$\frac{56}{3}$.