《2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版》

5. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$AC = 24$,$BD = 10$,点 $P$ 为边 $CD$ 上一点,且点 $P$ 不与点 $C$,$D$ 重合.过点 $P$ 作 $PE\perp BD$ 于点 $E$,$PF\perp AC$ 于点 $F$,连接 $EF$,则 $EF$ 的最小值为______.

答案： $\frac{60}{13}$

6. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$\angle BAD = 60^{\circ}$,点 $M$ 是 $AB$ 的中点,$P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点,若 $PM + PB$ 的最小值是 $9$,则 $AB$ 的长是______.

答案： $6\sqrt{3}$

7. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$,点 $M$ 在 $AD$ 上,$AM = 4$,点 $P$ 为对角线 $BD$ 上一动点,连接 $PA$,$PM$,则 $PA + PM$ 的最小值为______.

答案： $2\sqrt{10}$

8. 如图,矩形 $ABCD$ 中,$AB = 2$,$AD = 3$. $E$,$F$ 分别是 $AD$,$CD$ 上的动点,$EF = 2$. $Q$ 是 $EF$ 的中点,$P$ 为 $BC$ 上的动点,连接 $AP$,$PQ$. 则 $AP + PQ$ 的最小值等于______.

答案： 4

9. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$\angle B = 60^{\circ}$,$AB = 10$,$BC = 8$,点 $E$ 为边 $AB$ 上的一个动点,连接 $ED$,$EC$,以 $ED$,$CE$ 为邻边构造 $□ EDGC$,连接 $EG$,则 $EG$ 的最小值为______.

答案： $8\sqrt{3}$

10. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$AB = 2\sqrt{5}$,$O$ 是 $BC$ 边的中点,点 $E$ 是正方形内一动点,$OE = 2$,连接 $DE$,将线段 $DE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得 $DF$,连接 $AE$,$CF$.
(1)若 $A$,$E$,$O$ 三点共线,求 $CF$ 的长；
(2)求 $\triangle CDF$ 的面积的最小值.

答案： 解:
(1)由旋转,得∠EDF=90°,ED=DF.
∵ O 是 BC 边的中点,
∴ $BO=\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$.在 Rt△AOB　中,$AO=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{20+5}=5$,
∴ AE=AO-EO=5-２=3.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠ADC=90°,AD=CD.
∴ ∠ADC=∠EDF,即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF.
∴ ∠ADE=∠CDF.在△ADE 和△CDF　中,$\begin{cases}AD=CD,\\∠ADE=∠CDF,\\DE=DF,\end{cases}$
∴ △ADE≌△CDF(SAS).
∴ CF=AE=3.
(2)过点 E 作 EH⊥AD　于点 H.
∵ △ADE≌△CDF,
∴ $S_{\triangle ADE}=S_{\triangle CDF}$.当 O,E,H 三点共线,EH　最小,$EH=OH-OE=2\sqrt{5}-2$.
∴ △CDF 面积的最小值为$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AD×EH=10-2\sqrt{5}$.