《2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版》

18. (12分)如图,在平面直角坐标系中,点$A(0,12)$,点$B(m,12)$,且B到原点O的距离$OB= 20$,动点P从原点O出发,沿路线$O→A→B$运动到点B停止,速度为每秒5个单位长度,同时,点Q从点B出发沿路线$B→A→O$运动到原点O停止,速度为每秒2个单位长度.设运动时间为t秒.
(1)求出P,Q相遇时点P的坐标;
(2)当点P运动到AB边上时,连接OP,OQ,若$\triangle OPQ$的面积为6,求t的值.

答案： 解:
(1)在$Rt\triangle AOB$中,$\because ∠BAO=90^{\circ },OA=12,OB=20,\therefore AB=\sqrt {OB^{2}-OA^{2}}=\sqrt {20^{2}-12^{2}}=16$.设经过x s点P,点Q相遇,由题意得$5x + 2x=12 + 16$,解得$x=4$,此时$BQ=8,AQ=AB - BQ=16 - 8=8,\therefore P(8,12)$.
(2)当点P,Q都在AB边上时,$\frac {1}{2}×|16-(5t - 12)-2t|×12=6$,解得$t=\frac {27}{7}$或$\frac {29}{7}$;当点Q在OA上时,$\frac {1}{2}×16×(16 + 12 - 2t)=6$,解得$t=\frac {109}{8}$.综上所述,满足条件的t的值为$\frac {27}{7}$或$\frac {29}{7}$或$\frac {109}{8}.$

19. (14分)如图,在$\triangle ABC$中,点D,E分别在边AB,AC上,连接DE,过点D作$DF⊥DE$交BC于点F,连接EF.
(1)直接填空:若$∠DEF= 45^{\circ },EF= 3$,则$\triangle DEF$的面积为____;
(2)若$BC= a,AC= b,AB= c$,且$a≠b,a^{4}-b^{4}-(a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2})= 0$.
①试判定$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
②若点D为边AB的中点,试猜想EF,AE,BF之间的数量关系,并说明理由.

答案：
解:
(1)$\frac {9}{4}$
(2)①$\triangle ABC$的形状是直角三角形,理由如下:$\because a^{4}-b^{4}-(a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2})=0,\therefore (a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})-c^{2}(a^{2}-b^{2})=0.\therefore (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0.\because a≠b,\therefore a^{2}-b^{2}≠0.\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$,即$a^{2}+b^{2}=c^{2}.\therefore \triangle ABC$是以AB为斜边的直角三角形.②EF,AE,BF之间的数量关系为$EF^{2}=AE^{2}+BF^{2}$,理由如下:如图,延长FD至点G,使得$DG=DF.$$\because$点D为边AB的中点,$\therefore AD=BD$.在$\triangle ADG$和$\triangle BDF$中,$DG=DF,∠ADG=∠BDF,AD=BD,\therefore \triangle ADG\cong \triangle BDF(SAS).\therefore AG=BF,∠DAG=∠B$.由①,得$∠C=90^{\circ }.\therefore ∠CAB+∠B=90^{\circ }.\therefore ∠CAB+∠DAG=90^{\circ }$,即$∠EAG=90^{\circ }.\therefore EG^{2}=AE^{2}+AG^{2}.$$\because DF⊥DE,DG=DF,\therefore EG=EF,\therefore EF^{2}=AE^{2}+BF^{2}.$