《2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版》

18. (10分)如图,在$\triangle ABC$中,$AD为BC$边上的中线,$E为AD$的中点,过点$A作AF // BC$,交$BE的延长线于点F$,连接$CF$.
(1)求证:四边形$ADCF$是平行四边形;
(2)连接$DF交AC于点G$,连接$EG$,当$\angle BAC = 90^{\circ}$,在不添加任何辅助线和字母的情况下,直接写出图中所有长度为$2EG$的线段.

答案：
(1)证明:
∵ E 是 AD 的中点,
∴ AE=ED.
∵ AF//BC,
∴ ∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE.
∴ △AFE≌△DBE(AAS).
∴ AF=BD.
∵ AD 是 BC 边上的中线,
∴ CD=BD.
∴ AF=CD.
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形.
(2)解:所有长度为 2EG 的线段是 CD,AF,BD,AD,CF.

19. (14分)如图,矩形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,将$\triangle COD沿CD$所在直线折叠,得到$\triangle CED$.
(1)求证:四边形$OCED$是菱形;
(2)若$AB = 2$,当四边形$OCED$是正方形时,求$OC$的长;
(3)若$BD = 3$,$\angle ACD = 30^{\circ}$,$P是CD$边上的动点,$Q是CE$边上的动点,求$PE + PQ$的最小值.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AC 与 BD 相等且互相平分.
∴ OC=OD.
∵ △COD 关于 CD 的对称图形为△CED,
∴ OD=ED,EC=OC.
∴ OD=ED=EC=OC.
∴ 四边形 OCED 是菱形.
(2)解:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ CD=AB=2.
∵ 四边形 OCED 是正方形,
∴ ∠COD=90°.在 Rt△COD 中,由勾股定理,得 OC²+OD²=2².
∵ OD=OC,
∴ OC=$\sqrt{2}$.
(3)解:作 OQ⊥CE 于 Q,交 CD 于 P,此时 PE+PQ 的值最小.
∵ △COD 沿 CD 所在直线折叠,得到△CED,
∴ ∠DCE=∠DCO,PE=PO.
∴ PE+PQ=PO+PQ=OQ.
∵ AC=BD=3,
∴ OC=OD=$\frac{3}{2}$.
∴ ∠CDO=∠ACD=30°.
∴ ∠DCE=30°.
∴ ∠OCQ=60°.
∴ ∠COQ=30°.
∴ CQ=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{4}$,OQ=$\sqrt{3}$CQ=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
∴ PE+PQ 的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.