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2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
15. (8分)若$a= \sqrt {7-2x},b= \sqrt {3x-2},c= \sqrt {3x+1}$.
(1)若a,b,c都有意义,求x的取值范围;
(2)若a,b,c分别是$\triangle ABC中∠A,∠B,∠C$所对的三边,是否存在整数x,使得$\triangle ABC为直角三角形且∠C$为直角.
(1)若a,b,c都有意义,求x的取值范围;
(2)若a,b,c分别是$\triangle ABC中∠A,∠B,∠C$所对的三边,是否存在整数x,使得$\triangle ABC为直角三角形且∠C$为直角.
答案：
解:
(1)a,b,c都有意义,得$\left\{\begin{array}{l} 7-2x\geq 0,\\ 3x-2\geq 0,\\ 3x+1\geq 0,\end{array}\right. $解得$\frac {2}{3}\leq x\leq 3.5.$
(2)存在.
∵∠C为直角,$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,即$7-2x+3x-2=3x+1,$解得$x=2$.存在整数$x=2$,使得$\triangle ABC$为直角三角形且∠C为直角.
(1)a,b,c都有意义,得$\left\{\begin{array}{l} 7-2x\geq 0,\\ 3x-2\geq 0,\\ 3x+1\geq 0,\end{array}\right. $解得$\frac {2}{3}\leq x\leq 3.5.$
(2)存在.
∵∠C为直角,$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,即$7-2x+3x-2=3x+1,$解得$x=2$.存在整数$x=2$,使得$\triangle ABC$为直角三角形且∠C为直角.
16. (10分)如图,一艘船由A港沿北偏东$60^{\circ }$方向航行10km至B港,然后沿北偏西$30^{\circ }$方向航行10km至C港.
(1)求A,C两港之间的距离;(结果精确到0.1km,参考数据:$\sqrt {2}\approx 1.414,\sqrt {3}\approx 1.732$)
(2)确定C港在A港的什么方向.
(1)求A,C两港之间的距离;(结果精确到0.1km,参考数据:$\sqrt {2}\approx 1.414,\sqrt {3}\approx 1.732$)
(2)确定C港在A港的什么方向.
答案：
解:
(1)由题意可得,$∠PBC=30^{\circ },∠MAB=60^{\circ },\therefore ∠CBQ=60^{\circ },∠BAN=30^{\circ },\therefore ∠ABQ=30^{\circ },\therefore ∠ABC=90^{\circ }.\because AB=BC =10,\therefore AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=10\sqrt {2}\approx 14.1(km)$.答:A,C两港之间的距离约为14.1 km.
(2)由
(1)知,$\triangle ABC$为等腰直角三角形,$\therefore ∠BAC=45^{\circ },\therefore ∠CAM=60^{\circ }-45^{\circ }=15^{\circ }$,
∴ C港在A港北偏东$15^{\circ }$的方向上.
(1)由题意可得,$∠PBC=30^{\circ },∠MAB=60^{\circ },\therefore ∠CBQ=60^{\circ },∠BAN=30^{\circ },\therefore ∠ABQ=30^{\circ },\therefore ∠ABC=90^{\circ }.\because AB=BC =10,\therefore AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=10\sqrt {2}\approx 14.1(km)$.答:A,C两港之间的距离约为14.1 km.
(2)由
(1)知,$\triangle ABC$为等腰直角三角形,$\therefore ∠BAC=45^{\circ },\therefore ∠CAM=60^{\circ }-45^{\circ }=15^{\circ }$,
∴ C港在A港北偏东$15^{\circ }$的方向上.
17. (8分)如图,在四边形ABCD中,$AB= AD= 12,∠A= 60^{\circ },∠D= 150^{\circ }$,已知四边形ABCD的周长为42,求四边形ABCD的面积.
答案：
解:如图,连接BD,过点D作$DE⊥AB$于点E.$\because AB=AD=12,∠A=60^{\circ },\therefore \triangle ABD$是等边三角形,$∠ADE=30^{\circ }.\therefore AE=BE=\frac {1}{2}AB=6,$$∠ADB=60^{\circ }$.在$Rt\triangle ADE$中,$DE=\sqrt {AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt {12^{2}-6^{2}}=6\sqrt {3}.\therefore S_{\triangle ABD}=\frac {1}{2}AB\cdot DE=\frac {1}{2}×12×6\sqrt {3}=36\sqrt {3}.\because ∠ADC=150^{\circ },\therefore ∠CDB=∠ADC - ∠ADB=150^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }.\therefore \triangle BCD$是直角三角形.又
∵ 四边形的周长为42,$\therefore CD + BC=42 - AD - AB=42 - 12 - 12=18$.设$CD=x$,则$BC=18 - x$.在$Rt\triangle BCD$中（此处原答案“Rt△ADE”应为“Rt△BCD”）,$12^{2}+x^{2}=(18 - x)^{2}$,解得$x=5.\therefore S_{\triangle BDC}=\frac {1}{2}×12×5=30,\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BDC}=36\sqrt {3}+30.$
解:如图,连接BD,过点D作$DE⊥AB$于点E.$\because AB=AD=12,∠A=60^{\circ },\therefore \triangle ABD$是等边三角形,$∠ADE=30^{\circ }.\therefore AE=BE=\frac {1}{2}AB=6,$$∠ADB=60^{\circ }$.在$Rt\triangle ADE$中,$DE=\sqrt {AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt {12^{2}-6^{2}}=6\sqrt {3}.\therefore S_{\triangle ABD}=\frac {1}{2}AB\cdot DE=\frac {1}{2}×12×6\sqrt {3}=36\sqrt {3}.\because ∠ADC=150^{\circ },\therefore ∠CDB=∠ADC - ∠ADB=150^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }.\therefore \triangle BCD$是直角三角形.又
∵ 四边形的周长为42,$\therefore CD + BC=42 - AD - AB=42 - 12 - 12=18$.设$CD=x$,则$BC=18 - x$.在$Rt\triangle BCD$中（此处原答案“Rt△ADE”应为“Rt△BCD”）,$12^{2}+x^{2}=(18 - x)^{2}$,解得$x=5.\therefore S_{\triangle BDC}=\frac {1}{2}×12×5=30,\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BDC}=36\sqrt {3}+30.$
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