《2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版》

8. 如图,圆柱形玻璃杯高为$12\mathrm{cm}$,底面周长为$18\mathrm{cm}$,在杯内离杯底$4\mathrm{cm}的点C$处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿$4\mathrm{cm}与蜂蜜相对的点A$处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______$\mathrm{cm}$.

答案： 15

9. 如图,在长方体透明容器(无盖)内的点$B$处有一滴糖浆,容器外$A$点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆,已知容器长为$5\mathrm{cm}$,宽为$3\mathrm{cm}$,高为$4\mathrm{cm}$,点$A距底部1\mathrm{cm}$,请问蚂蚁需爬行的最短距离是(容器壁厚度不计)______$\mathrm{cm}$.

答案： $\sqrt{113}$

10. 如图,有一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为$24\mathrm{dm}$,$3\mathrm{dm}$,$3\mathrm{dm}$,点$A和点B$是这个台阶上两个相对的端点,点$A$处有一只蚂蚁,想到点$B$处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点$B$的最短路程是______$\mathrm{dm}$.

答案： 30

11. 设两个点$A$,$B的坐标分别为A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,则线段$AB的长度为AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.举例如下:$A$,$B两点的坐标分别是(0,-3)$,$(1,-4)$,则$A$,$B两点之间的距离AB = \sqrt{(0 - 1)^2 + [-3 - (-4)]^2} = \sqrt{2}$.请利用上述知识解决下列问题:
(1)若$A(1,2)$,$B(x,6)$,且$AB = 5$,求$x$的值;
(2)已知$\triangle ABC$,点$A(-1,5)$,$B(-5,2)$,$C(-3,1)$,求$\triangle ABC$的面积;
(3)求代数式$\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(12 - x)^2 + 9}$的最小值.

答案：
(1)
∵ $AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$,
∴ $AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$.又
∵ $A(1,2),B(x,6),AB=5$,
∴ $(1-x)^2+(2-6)^2=25$,解得 $x=-2$ 或 $x=4$.
(2) $AB=\sqrt{[-1-(-5)]^2+(5-2)^2}=5$,$BC=$$\sqrt{[-5-(-3)]^2+(2-1)^2}=\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{[-1-(-3)]^2+(5-1)^2}=2\sqrt{5}$,
∴ $AB^2=BC^2+AC^2$,
∴ $\triangle ABC$ 为直角三角形.
∴ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$.
(3)
∵ $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}=\sqrt{(0-x)^2+(-2-0)^2}+\sqrt{(12-x)^2+(3-0)^2}$,
∴ 该代数式可看成是点 $(0,-2)$ 与点 $(x,0)$ 的距离和点 $(12,3)$ 与点 $(x,0)$ 的距离之和,当点 $(x,0)$ 在点 $(0,-2)$ 与点 $(12,3)$ 连接的线段上时最短,为 $\sqrt{(0-12)^2+(-2-3)^2}=13$,故 $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$ 的最小值为 13.