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2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年复习计划风向标暑八年级数学北师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
17. (14分)如图,平面直角坐标系中,线段$AB的端点为A(-8,19)$,$B(6,5)$.
(1)求$AB$所在直线的解析式;
(2)某同学设计了一个动画:在函数$y = mx + n(m \neq 0,y \geq 0)$中,分别输入$m和n$的值,使得到射线$CD$,其中$C(c,0)$.当$c = 2$时,会从$C处弹出一个光点P$,并沿$CD$飞行;当$c \neq 2$时,只发出射线而无光点弹出.
①若有光点$P$弹出,试推算$m$,$n$应满足的数量关系;
②当有光点$P$弹出,并击中线段$AB$上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段$AB$就会发光.求此时整数$m$的个数.
(1)求$AB$所在直线的解析式;
(2)某同学设计了一个动画:在函数$y = mx + n(m \neq 0,y \geq 0)$中,分别输入$m和n$的值,使得到射线$CD$,其中$C(c,0)$.当$c = 2$时,会从$C处弹出一个光点P$,并沿$CD$飞行;当$c \neq 2$时,只发出射线而无光点弹出.
①若有光点$P$弹出,试推算$m$,$n$应满足的数量关系;
②当有光点$P$弹出,并击中线段$AB$上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段$AB$就会发光.求此时整数$m$的个数.
答案：
解:
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-8,19),B(6,5)代入上式,得$\begin{cases} -8k+b=19, \\ 6k+b=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=11. \end{cases}$
∴直线AB的解析式为y=-x+11.
(2)①由题意知直线y=mx+n经过点(2,0),
∴2m+n=0.②
∵线段AB上的整数点有15个:(-8,19),(-7,18),(-6,17),(-5,16),(-4,15),(-3,14),(-2,13),(-1,12),(0,11),(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5).当射线CD经过(2,0),(-7,18)时,y=-2x+4,此时m=-2,符合题意;当射线CD经过(2,0),(-1,12)时,y=-4x+8,此时m=-4,符合题意;当射线CD经过(2,0),(1,10)时,y=-10x+20,此时m=-10,符合题意;当射线CD经过(2,0),(3,8)时,y=8x-16,此时m=8,符合题意;当射线CD经过(2,0),(5,6)时,y=2x-4,此时m=2,符合题意;其他点,都不符合题意.综上所述,符合题意的m的值有5个.
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-8,19),B(6,5)代入上式,得$\begin{cases} -8k+b=19, \\ 6k+b=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=11. \end{cases}$
∴直线AB的解析式为y=-x+11.
(2)①由题意知直线y=mx+n经过点(2,0),
∴2m+n=0.②
∵线段AB上的整数点有15个:(-8,19),(-7,18),(-6,17),(-5,16),(-4,15),(-3,14),(-2,13),(-1,12),(0,11),(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5).当射线CD经过(2,0),(-7,18)时,y=-2x+4,此时m=-2,符合题意;当射线CD经过(2,0),(-1,12)时,y=-4x+8,此时m=-4,符合题意;当射线CD经过(2,0),(1,10)时,y=-10x+20,此时m=-10,符合题意;当射线CD经过(2,0),(3,8)时,y=8x-16,此时m=8,符合题意;当射线CD经过(2,0),(5,6)时,y=2x-4,此时m=2,符合题意;其他点,都不符合题意.综上所述,符合题意的m的值有5个.
18. (18分)如图,一次函数$y = -\sqrt{3}x + \sqrt{3}的图象与x$轴,$y轴分别交于点A$,$B$.
(1)点$A$的坐标是______,点$B$的坐标是______;
(2)在$x轴上是否存在点M$,使$\triangle MAB$为直角三角形? 若存在,请求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如果第二象限内有一点$P(m,\frac{\sqrt{3}}{2})$,试用含$m的代数式表示四边形AOPB$的面积;
(4)在$y轴上是否存在点Q$,使$\triangle QAB$为等腰三角形? 若存在,请直接写出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)点$A$的坐标是______,点$B$的坐标是______;
(2)在$x轴上是否存在点M$,使$\triangle MAB$为直角三角形? 若存在,请求出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如果第二象限内有一点$P(m,\frac{\sqrt{3}}{2})$,试用含$m的代数式表示四边形AOPB$的面积;
(4)在$y轴上是否存在点Q$,使$\triangle QAB$为等腰三角形? 若存在,请直接写出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案：
解:
(1)(1,0) (0,√3)
(2)存在.设点M的坐标为(a,0),则$AM^{2}=(a - 1)^{2}$,$BM^{2}=(a - 0)^{2}+(0 - \sqrt{3})^{2}=a^{2}+3$,$AB^{2}=(1 - 0)^{2}+(0 - \sqrt{3})^{2}=4$.由题意可得∠MAB≠90°.当∠AMB = 90°时,显然点M与原点O重合,
∴此时点M的坐标为(0,0);当∠ABM = 90°时,$AB^{2}+BM^{2}=AM^{2}$,
∴$4 + a^{2}+3=(a - 1)^{2}$,解得a = -3.此时点M的坐标为(-3,0).综上所述,点M的坐标为(0,0)或(-3,0).
(3)过点P作PC⊥y轴于点C.由题意得OA = 1,OB = √3,PC = -m.
∴四边形AOPB的面积为$S_{\triangle ABO}+S_{\triangle OBP}=\frac{1}{2}OA\cdot OB+\frac{1}{2}PC\cdot OB=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}m$.
(4)存在.设点Q的坐标为(0,b),则AQ=$\sqrt{(0 - 1)^{2}+(b - 0)^{2}}=\sqrt{b^{2}+1}$,BQ=|b - √3|,AB=$\sqrt{4}=2$.当AQ = BQ时,$\sqrt{b^{2}+1}=|b - \sqrt{3}|$,解得$b=\frac{\sqrt{3}}{3}$.此时点Q的坐标为$(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$;当AQ = AB时,$\sqrt{b^{2}+1}=2$,解得$b=-\sqrt{3}$或$b=\sqrt{3}$(舍去).此时点Q的坐标为$(0,-\sqrt{3})$;当BQ = AB时,|b - √3| = 2,解得$b=-2+\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$.此时点Q的坐标为$(0,-2+\sqrt{3})$或$(0,2+\sqrt{3})$.综上所述,点Q的坐标为$(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$或$(0,-\sqrt{3})$或$(0,-2+\sqrt{3})$或$(0,2+\sqrt{3})$.
(1)(1,0) (0,√3)
(2)存在.设点M的坐标为(a,0),则$AM^{2}=(a - 1)^{2}$,$BM^{2}=(a - 0)^{2}+(0 - \sqrt{3})^{2}=a^{2}+3$,$AB^{2}=(1 - 0)^{2}+(0 - \sqrt{3})^{2}=4$.由题意可得∠MAB≠90°.当∠AMB = 90°时,显然点M与原点O重合,
∴此时点M的坐标为(0,0);当∠ABM = 90°时,$AB^{2}+BM^{2}=AM^{2}$,
∴$4 + a^{2}+3=(a - 1)^{2}$,解得a = -3.此时点M的坐标为(-3,0).综上所述,点M的坐标为(0,0)或(-3,0).
(3)过点P作PC⊥y轴于点C.由题意得OA = 1,OB = √3,PC = -m.
∴四边形AOPB的面积为$S_{\triangle ABO}+S_{\triangle OBP}=\frac{1}{2}OA\cdot OB+\frac{1}{2}PC\cdot OB=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}m$.
(4)存在.设点Q的坐标为(0,b),则AQ=$\sqrt{(0 - 1)^{2}+(b - 0)^{2}}=\sqrt{b^{2}+1}$,BQ=|b - √3|,AB=$\sqrt{4}=2$.当AQ = BQ时,$\sqrt{b^{2}+1}=|b - \sqrt{3}|$,解得$b=\frac{\sqrt{3}}{3}$.此时点Q的坐标为$(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$;当AQ = AB时,$\sqrt{b^{2}+1}=2$,解得$b=-\sqrt{3}$或$b=\sqrt{3}$(舍去).此时点Q的坐标为$(0,-\sqrt{3})$;当BQ = AB时,|b - √3| = 2,解得$b=-2+\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$.此时点Q的坐标为$(0,-2+\sqrt{3})$或$(0,2+\sqrt{3})$.综上所述,点Q的坐标为$(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$或$(0,-\sqrt{3})$或$(0,-2+\sqrt{3})$或$(0,2+\sqrt{3})$.
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