《2025年暑假大串联七年级数学浙教版》

例5 已知点$O$在直线$AB$上，且线段$OA$的长度为$4cm$，线段$OB$的长度为$6cm$，$E$，$F$分别为线段$OA$，$OB$的中点，则线段$EF$的长为____$cm$。

答案：
解：（1）点$O$在直线$AB$的两个端点的内部，如图$1$，

$\because E$，$F$分别为线段$OA$，$OB$的中点，
$\therefore OE=AE=\frac{1}{2}AO$，$OF=FB=\frac{1}{2}OB$，
$\because EF=OE+OF$，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AO+\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}× 4+\frac{1}{2}× 6=5(cm)$。
（2）点$O$在直线$AB$的两个端点的外部，如图$2$，

这时，$EF=OF-OE=3-2=1(cm)$。
综上所述，线段$EF$的长为$1cm$或$5cm$。
故答案为$1$或$5$。

例6 如图所示，$AB$，$CD$是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在$A$，$C$两点，点$E$是橡皮筋上的任意一点，拽动点$E$将橡皮筋拉紧后，请你探索$\angle A$，$\angle C$，$\angle AEC$之间的关系，并说明理由。

答案：
解：第一种情况（如图$1$），$\angle AEC=\angle A+\angle C$。
理由：经过点$E$作$EF// AB$，$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
$\therefore \angle A=\angle 1$，$\angle C=\angle 2$，（两直线平行，内错角相等）
$\therefore \angle 1+\angle 2=\angle A+\angle C$，
即$\angle AEC=\angle A+\angle C$。


第二种情况（如图$2$），$\angle AEC+\angle A+\angle C=360^{\circ}$。
理由：经过点$E$作$EF// AB$，$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
$\therefore \angle 1+\angle A=180^{\circ}$，$\angle 2+\angle C=180^{\circ}$，（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore \angle 1+\angle A+\angle 2+\angle C=360^{\circ}$，
即$\angle A+\angle C+\angle AEC=360^{\circ}$。
第三种情况（如图$3$），$\angle AEC=\angle A-\angle C$。
理由：经过点$E$作$EF// AB$，$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
$\therefore \angle A=\angle AEF$，$\angle C=\angle 1$，（两直线平行，内错角相等）
$\therefore \angle A-\angle C=\angle AEF-\angle 1$，
即$\angle AEC=\angle A-\angle C$。


第四种情况（如图$4$），$\angle AEC=\angle C-\angle A$。
理由：经过点$E$作$EF// AB$，$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
$\therefore \angle C+\angle 1=180^{\circ}$，$\angle A+\angle AEF=180^{\circ}$，（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore (\angle C+\angle 1)-(\angle A+\angle AEF)=180^{\circ}-180^{\circ}=0$，
$\therefore \angle C+\angle 1-\angle A-\angle AEF=0$，
$\therefore \angle C-\angle A=\angle AEF-\angle 1=\angle AEC$，
即$\angle AEC=\angle C-\angle A$。