《2025年暑假大串联七年级数学浙教版》

12. 若二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+3y=k-3\\ x-2y=2k+1\end{array}\right. $的解互为相反数，求k的值.$\frac{8}{5}$

答案： 解：解方程组得$\begin{cases} x = \frac{8k - 3}{7} \\ y = \frac{-3k - 5}{7} \end{cases}$，
因为方程组的解$x$，$y$互为相反数，则有$\frac{8k - 3}{7} + \frac{-3k - 5}{7} = 0$，解得$k = \frac{8}{5}$。

1. (本溪中考题)关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-y=m\\ x+my=n\end{array}\right. $的解是$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=3\end{array}\right. $，则$|m+n|$的值是____3.

答案： 3

2. (杭州中考题)设实数x，y满足方程组$\left\{\begin{array}{l} \frac {1}{3}x-y=4\\ \frac {1}{3}x+y=2\end{array}\right. $，则$x+y=$8.

答案： 8

3. (盘锦中考题)在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖的共30名学生购买奖品，共花费528元.其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，则获得一等奖和二等奖的学生各有多少名? 设获得一等奖的学生有x名，获得二等奖的学生有y名，根据题意可列方程组为$\begin{cases} x + y = 30 \\ 20x + 16y = 528 \end{cases}$.

答案： $\begin{cases} x + y = 30 \\ 20x + 16y = 528 \end{cases}$

4. (威海中考题)解方程组：$\left\{\begin{array}{l} 3x-5y=3\\ \frac {x}{2}-\frac {y}{3}=1\end{array}\right. $.
解：$\begin{cases} 3x - 5y = 3 & ① \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 & ② \end{cases}$
②×6，得$3x - 2y = 6$③
③ - ①，得$3y = 3$。
∴$y = 1$。
把$y = 1$代入①，得$3x - 5 = 3$。
∴$x = \frac{8}{3}$。
∴方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{8}{3} \\ y = 1 \end{cases}$。

答案： 解：$\begin{cases} 3x - 5y = 3 & ① \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 & ② \end{cases}$
②×6，得$3x - 2y = 6$ ③
③ - ①，得$3y = 3$。
∴$y = 1$。
把$y = 1$代入①，得$3x - 5 = 3$。
∴$x = \frac{8}{3}$。
∴方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{8}{3} \\ y = 1 \end{cases}$。

5. (青海中考题)某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南、北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米.
(1)求甲、乙两班组平均每天各掘进多少米.
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米.按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务?

答案： 解：
(1)解法一：设乙组平均每天掘进$x$米，则甲组平均每天掘进$(x + 0.5)$米，
由题意得：$6[x + (x + 0.5)] = 57$，
解得$x = 4.5$，
则$x + 0.5 = 5$，
答：甲组平均每天掘进5米，乙组平均每天掘进4.5米。
解法二：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进$x$米、$y$米，
由题意，得$\begin{cases} x - y = 0.5 \\ 6(x + y) = 57 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x = 5 \\ y = 4.5 \end{cases}$。
答：甲组平均每天掘进5米，乙组平均每天掘进4.5米。
(2)设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要$a$天、$b$天完成任务，则
$a = (1957 - 57) ÷ (5 + 4.5) = 200$（天）
$b = (1957 - 57) ÷ (5 + 4.5 + 0.2 + 0.3) = 190$（天）
$a - b = 10$（天）
答：能够比原来少用10天完成任务。