《2025年暑假大串联七年级数学浙教版》

18. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：$4 = 2^{2}-0^{2}$，$12 = 4^{2}-2^{2}$，$20 = 6^{2}-4^{2}$，因此4，12，20这三个数都是神秘数。
(1)28和36这两个数是神秘数吗？为什么？
$\because 8^{2}-6^{2}=28,\therefore 28$是神秘数;$\because 10^{2}-8^{2}=36,\therefore 36$是神秘数.
(2)设两个连续偶数为$2k + 2$和$2k$(其中$k$取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
$\because (2k+2)^{2}-(2k)^{2}=4k^{2}+8k+4-4k^{2}=4(2k+1),$$\therefore$由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.

答案： 18. 解:
(1)$\because 8^{2}-6^{2}=28,\therefore 28$是神秘数;$\because 10^{2}-8^{2}=36,\therefore 36$是神秘数.
(2)$\because (2k+2)^{2}-4k^{2}=4k^{2}+8k+4-4k^{2}=4(2k+1),$
$\therefore$由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.

1. 若$n$为正整数，$a^{2n}=5$，则$2a^{6n}-4=$246。

答案： 1. 246

2. 若$(x - 4)(x + m^{2})=x^{2}-16$，则$m =$$\pm 2$。

答案： 2.$\pm 2$

3. $(3m^{2}-4n^{2})(-4n^{2}-3m^{2})=$$16n^{4}-9m^{4}$。

答案： 3.$16n^{4}-9m^{4}$

4. 将正整数1，2，3，…从小到大按下表所示的规律排列。若第4行第2列的数为32，则：
(1)$n =$10。
(2)第$i$行第$j$列的数为$10i+j-10$。(用$i$，$j$表示)
| |第1列|第2列|第3列|…|第$n$列|
|----|----|----|----|----|----|
|第1行|1|2|3|…|$n$|
|第2行|$n + 1$|$n + 2$|$n + 3$|…|$2n$|
|第3行|$2n + 1$|$2n + 2$|$2n + 3$|…|$3n$|
|…|…|…|…|…|…|

答案： 4.
(1)10
(2)$10i+j-10$

5. 已知$\frac{1}{x}-\vert x\vert = 1$，则$\frac{1}{x}+\vert x\vert$的值为(B)
A. $\pm\sqrt{5}$
B. $\sqrt{5}$
C. $\pm\sqrt{3}$
D. $\sqrt{5}$或1

答案： 5. B

6. 已知$a - b = 3$，$ab = 1$，则$a^{2}+b^{2}$等于(D)
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11

答案： 6. D

7. 计算$(2a^{2})^{3}\cdot \frac{1}{2}a$正确的结果是(B)
A. $3a^{7}$
B. $4a^{7}$
C. $a^{7}$
D. $4a^{6}$

答案： 7. B

8. 观察下列算式，你发现了什么规律？
$1^{2}=\frac{1×2×3}{6}$
$1^{2}+2^{2}=\frac{2×3×5}{6}$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}=\frac{3×4×7}{6}$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=\frac{4×5×9}{6}$
……
(1)你能用一个算式表示这个规律吗？
$1^{2}+2^{2}+... +n^{2}=$$\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
(2)根据你发现的规律，计算：$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+8^{2}$。
204

答案： 8.
(1)$1^{2}+2^{2}+... +n^{2}=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
(2)204