《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

26. (14分)如图,$A,B,C,D$是矩形的四个顶点,$AB= 16cm,AD= 6cm$,动点$P,Q分别从点A,C$同时出发,点$P以3cm/s的速度向点B$移动,一直到达点$B$为止,点$Q以2cm/s的速度向点D$移动.
(1) $P,Q$两点从出发开始到几秒时,四边形$PBCQ的面积为33cm^{2}$?
(2) $P,Q$两点从出发开始到几秒时,点$P和点Q间的距离第一次是10cm$?

答案：
(1)设$P$，$Q$两点从出发开始到$t$秒时，四边形$PBCQ$的面积为$33\,\text{cm}^2$。
由题意得，$AP = 3t\,\text{cm}$，则$PB=(16 - 3t)\,\text{cm}$，$CQ=2t\,\text{cm}$。
四边形$PBCQ$为梯形，其面积$S=\frac{1}{2}(PB + CQ)× BC$，$BC = AD = 6\,\text{cm}$。
所以$\frac{1}{2}(16 - 3t + 2t)×6=33$，
化简得$(16 - t)×3 = 33$，
$16 - t = 11$，
解得$t = 5$。
答：$P$，$Q$两点从出发开始到$5$秒时，四边形$PBCQ$的面积为$33\,\text{cm}^2$。
(2)设$P$，$Q$两点从出发开始到$t$秒时，点$P$和点$Q$间的距离第一次是$10\,\text{cm}$。
过点$Q$作$QE\perp AB$于点$E$，则$PE = AB - AP - CQ=16 - 3t - 2t=(16 - 5t)\,\text{cm}$，$QE = AD = 6\,\text{cm}$。
在$Rt\triangle PEQ$中，$PE^2 + QE^2 = PQ^2$，
所以$(16 - 5t)^2 + 6^2 = 10^2$，
$(16 - 5t)^2 = 64$，
$16 - 5t=\pm8$。
当$16 - 5t = 8$时，$5t = 8$，$t = 1.6$；
当$16 - 5t=-8$时，$5t = 24$，$t = 4.8$。
因为第一次距离为$10\,\text{cm}$，所以$t = 1.6$。
答：$P$，$Q$两点从出发开始到$1.6$秒时，点$P$和点$Q$间的距离第一次是$10\,\text{cm}$。