《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

26. (14分)如图,$\triangle ABC$内接于以AB为直径的半圆,过点A作直线MN,$∠MAC= ∠ABC$,D是$\widehat {AC}$的中点,连接BD,交AC于点G,过点D作$DE⊥AB$于点E,交AC于点F.
(1) 求证:MN是半圆的切线.
(2) 过点D作$DH⊥BC$,交BC的延长线于点H,连接CD.试判断线段AE与线段CH之间的数量关系,并说明理由.
(3) 若$BC= 4,AB= 6$,求AE的长.

答案：
(1)证明：
∵AB为半圆直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即∠MAB=90°，
∵AB为半圆直径，
∴MN是半圆的切线。
(2)AE=CH，理由如下：连接AD，
∵D是$\widehat{AC}$中点，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴AD=CD，∠ABD=∠CBD，
∵DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DE=DH，∠AED=∠CHD=90°，在Rt△ADE和Rt△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\ DE=DH\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH(HL)，
∴AE=CH。
(3)解：
∵AB=6，BC=4，∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=2\sqrt{5}$，设AE=x，由
(2)知CH=AE=x，
∵∠DBE=∠DBH，DE⊥AB，DH⊥BH，
∴∠BED=∠BHD=90°，在△BED和△BHD中，$\left\{\begin{array}{l}∠BED=∠BHD\\ ∠DBE=∠DBH\\ BD=BD\end{array}\right.$，
∴△BED≌△BHD(AAS)，
∴BE=BH，
∵BE=AB - AE=6 - x，BH=BC + CH=4 + x，
∴6 - x=4 + x，解得x=1，即AE=1。