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25. (12分)阅读材料并解决问题:
| | 设计货船通过圆形拱桥的方案 |
| 材料1 | 图①中有一座圆拱石桥,其圆形拱桥的示意图如图②所示,测得水面宽$AB= 16m$,拱顶离水面的距离$CD= 4m$. |
| 材料2 | 如图③,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得$EH= 12m,EF= 2.1m$.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,货船的载重量每增加1 t,则船身下降0.01 m. |
解决问题:
(1) 求圆形拱桥的半径.
(2) 根据图③的状态,货船能否通过圆形拱桥?若能,最多还能卸载多少吨货物?若不能,至少要增加多少吨货物才能通过?
| | 设计货船通过圆形拱桥的方案 |
| 材料1 | 图①中有一座圆拱石桥,其圆形拱桥的示意图如图②所示,测得水面宽$AB= 16m$,拱顶离水面的距离$CD= 4m$. |
| 材料2 | 如图③,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得$EH= 12m,EF= 2.1m$.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,货船的载重量每增加1 t,则船身下降0.01 m. |
解决问题:
(1) 求圆形拱桥的半径.
(2) 根据图③的状态,货船能否通过圆形拱桥?若能,最多还能卸载多少吨货物?若不能,至少要增加多少吨货物才能通过?
答案：
(1)解：设圆形拱桥的半径为$r$米，圆心为$O$。由题意知$CD$垂直平分$AB$，则$AD = \frac{AB}{2} = 8m$，$OD = r - CD = (r - 4)m$。在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理得$OA^2=AD^2 + OD^2$，即$r^2=8^2+(r - 4)^2$，解得$r = 10$。答：圆形拱桥的半径为10米。
(2)解：货船最宽处为$EH = 12m$，当货船沿拱桥对称轴行驶时，设此时货船顶部距水面的距离为$h$，货船顶部到圆心的距离为$10 - (4 - h)=(6 + h)m$。在$Rt\triangle$中（圆心与货船顶部宽的一半构成的直角三角形），根据勾股定理得$(6 + h)^2+6^2 = 10^2$，解得$h = 2m$。因为$EF = 2.1m＞2m$，所以货船不能通过。至少要增加货物$(2.1 - 2)÷0.01 = 10$吨。答：货船不能通过，至少要增加10吨货物才能通过。
(1)解：设圆形拱桥的半径为$r$米，圆心为$O$。由题意知$CD$垂直平分$AB$，则$AD = \frac{AB}{2} = 8m$，$OD = r - CD = (r - 4)m$。在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理得$OA^2=AD^2 + OD^2$，即$r^2=8^2+(r - 4)^2$，解得$r = 10$。答：圆形拱桥的半径为10米。
(2)解：货船最宽处为$EH = 12m$，当货船沿拱桥对称轴行驶时，设此时货船顶部距水面的距离为$h$，货船顶部到圆心的距离为$10 - (4 - h)=(6 + h)m$。在$Rt\triangle$中（圆心与货船顶部宽的一半构成的直角三角形），根据勾股定理得$(6 + h)^2+6^2 = 10^2$，解得$h = 2m$。因为$EF = 2.1m＞2m$，所以货船不能通过。至少要增加货物$(2.1 - 2)÷0.01 = 10$吨。答：货船不能通过，至少要增加10吨货物才能通过。
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