《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

20. (10分)如图,正方形$ABCD与正方形A_1B_1C_1D_1$关于某点成中心对称.已知$A$,$D$,$A_1三点的坐标分别为(1,0)$,$(3,0)$,$(6,0)$.
(1) 求对称中心的坐标;
(2) 直接写出顶点$B$,$C$,$B_1$,$C_1$,$D_1$的坐标.

答案：
(1) 解：
∵正方形ABCD与正方形A₁B₁C₁D₁关于某点成中心对称，
∴对称中心是对应点连线的中点。
∵A(1,0)，A₁(6,0)，
∴对称中心的横坐标为$\frac{1 + 6}{2} = 3.5$，纵坐标为$\frac{0 + 0}{2} = 0$，
即对称中心的坐标为(3.5, 0)。
(2) B(1,2)，C(3,2)，D₁(4,0)，B₁(6,-2)，C₁(4,-2)。

21. (10分)如图,在$\triangle ABC$中,点$E在边BC$上,$AE= AB$,将线段$AC绕点A逆时针旋转到AF$的位置,使得$\angle CAF= \angle BAE$,连接$EF$,交$AC于点G$.
(1) 求证:$EA是\angle BEF$的平分线;
(2) 若$\angle B= 65^{\circ}$,$\angle C= 28^{\circ}$,求$\angle FGC$的度数.

答案：
(1) 证明：
∵∠CAF=∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE，即∠EAF=∠BAC。
∵线段AC绕点A逆时针旋转到AF的位置，
∴AF=AC。
在△ABC和△AEF中，
AB=AE，∠BAC=∠EAF，AC=AF，
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴∠AEF=∠B。
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠B，
∴∠AEB=∠AEF，
∴EA是∠BEF的平分线。
(2) 解：
∵∠B=65°，∠C=28°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-65°-28°=87°。
∵AE=AB，∠B=65°，
∴∠BAE=180°-2∠B=180°-2×65°=50°，
∴∠CAF=∠BAE=50°。
由
(1)知△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=28°。
在△AFG中，∠AGF=180°-∠F-∠CAF=180°-28°-50°=102°，
∴∠FGC=180°-∠AGF=180°-102°=78°。