《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

23. (10分)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2x-3m^{2}= 0$.
(1) 求证:方程总有两个不等的实数根;
(2) 若方程的两个实数根分别为$\alpha,\beta$,且$\alpha+2\beta=5$,求$m$的值.

答案：
(1)证明：
∵Δ=(-2)²-4×1×(-3m²)=4+12m²，
又
∵m²≥0，
∴4+12m²＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不等的实数根。
(2)解：由根与系数的关系得α+β=2，αβ=-3m²，
∵α+2β=5，
∴(α+β)+β=5，即2+β=5，
解得β=3，
将β=3代入方程x²-2x-3m²=0，得3²-2×3-3m²=0，
即9-6-3m²=0，3-3m²=0，
解得m=±1。