《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

26. (14分)已知抛物线$y= ax^{2}-2ax+a-4(a≠0)的顶点为A$,与$x轴交于B$,$C$两点(点$B在点C$的左侧).
(1) 求点$A$的坐标;
(2) 若$BC= 4$,求抛物线对应的函数解析式;
(3) 对于抛物线$y= ax^{2}-2ax+a-4(a≠0)上的任意一点M(x_{1},y_{1})(x_{1}＜0)$,在直线$y= x+2a-5上总能找到一点N(x_{2},y_{2})(x_{2}＞0)$,使得$y_{1}= y_{2}$,请结合函数图象,求出$a$的取值范围.

答案：
(1) 解：$y=ax^2 - 2ax + a - 4 = a(x^2 - 2x + 1) - 4 = a(x - 1)^2 - 4$，
∴顶点$A$的坐标为$(1, -4)$。
(2) 解：令$y=0$，则$a(x - 1)^2 - 4 = 0$，
$(x - 1)^2 = \frac{4}{a}$，
∵抛物线与$x$轴交于$B$，$C$两点，
∴$a ＞ 0$，
$x - 1 = \pm \frac{2}{\sqrt{a}}$，$x = 1 \pm \frac{2}{\sqrt{a}}$，
∴$B\left(1 - \frac{2}{\sqrt{a}}, 0\right)$，$C\left(1 + \frac{2}{\sqrt{a}}, 0\right)$，
$BC = \left(1 + \frac{2}{\sqrt{a}}\right) - \left(1 - \frac{2}{\sqrt{a}}\right) = \frac{4}{\sqrt{a}} = 4$，
解得$\sqrt{a} = 1$，$a = 1$，
∴抛物线解析式为$y = x^2 - 2x - 3$。
(3) 解：由题意，当$x ＜ 0$时，抛物线$y = a(x - 1)^2 - 4$的函数值$y_1$，在直线$y = x + 2a - 5$（$x ＞ 0$）上存在$y_2 = y_1$。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上，对称轴$x = 1$，$x ＜ 0$时，$y$随$x$增大而减小，
$x = 0$时，$y = a(0 - 1)^2 - 4 = a - 4$，
∴当$x ＜ 0$时，$y_1 ＞ a - 4$，
直线$y = x + 2a - 5$，$x ＞ 0$时，$y ＞ 2a - 5$，
要使$y_1 = y_2$有解，则$a - 4 \geq 2a - 5$，解得$a \leq 1$，
又$a ＞ 0$，
∴$0 ＜ a \leq 1$；
当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，$x ＜ 0$时，$y$随$x$增大而增大，
$x \to -\infty$时，$y \to -\infty$，$x = 0$时，$y = a - 4$，
直线$x ＞ 0$时，$y ＞ 2a - 5$，
此时抛物线$y_1$的值域为$(-\infty, a - 4)$，直线值域为$(2a - 5, +\infty)$，
∵$a ＜ 0$，$a - 4 ＜ 2a - 5$（$a ＞ 1$，矛盾），故无交集，不符合题意，
综上，$a$的取值范围是$0 ＜ a \leq 1$。